Riesz Uzaylarında Otomorfizma ve Biotomorfizmaların 𝒇-Cebir Yapıları ve Diğer Bazı Cebir Türleri İle İlişkisi

Öz

𝑓-Cebiri , 𝑑-Cebiri, hemen hemen 𝑓-Cebiri ve yarıasal 𝑓-Cebiri yapıları tanıtıldı ve aralarındaki ilişkiler Aliprantis ve Burkinshaw (2006) tarafından çalışıldı. Zaanen, Huijsmans, Boulabiar, Buskes ve Triki gibi matematikçiler tarafından Riesz uzayları üzerinde homomorfizma, izomorfizma, otomorfizma ve biotomorfizma kavramları tanımlandı. Riesz Uzaylarında Biotomorfizmalar üzerinde 𝑓-Cebiri Buskes, Page ve Yilmaz (2010) ve Boulabiar ve Brahmi (2016) tarafından çalışıldı. Boulabiar ve Brahmi (2016) tarafından biotomorfizma uzayının cebirsel yapısı incelenerek e∈𝑋+, ∀𝑥1,𝑥2∈𝑋 ve 𝑓1,𝑓2∈𝑂𝑟𝑡ℎ(𝑋,𝑋) için

(𝑓1∗e𝑓2)(𝑥1,𝑥2)=𝑓1(𝑥1,𝑓2(𝑒,𝑥2))

şeklinde tanımlanan çarpım yardımıyla bu uzayın bir 𝑓−Cebir yapısına sahip olduğu gösterildi. Bu çalışmada, 𝑂𝑟𝑡ℎ (𝑋,𝑋) uzayında 𝑓-Cebiri, 𝑑-Cebiri, hemen hemen 𝑓-Cebiri ve yarıasal 𝑓-Cebiri aralarındaki ilişkiyi ∗e çarpımı yardımıyla incelemek ve Teorem 1.10 ile verilen 𝑋 yarıasal 𝑓-Cebiri ile 𝑑-Cebiri ve hemen hemen 𝑓-Cebiri arasındaki geçişlerin biotomorfizmalar üzerinde tanımlanan cebir türlerinde de sağlanıp sağlanmadığını incelemek istiyoruz. Daha önceki çalışmalardan Riesz Uzaylarında biotomorfizmalar üzerinde 𝑓-Cebirinin tanımlı olduğunu biliyoruz. Çalışmamızda 𝑋 üzerinde tanımlanan otomorfizmalar uzayı 𝑂𝑟𝑡ℎ (𝑋) ile bitomorfizmalar uzayı ise 𝑂𝑟𝑡ℎ (𝑋,𝑋) ile simgelenmiştir.

Anahtar Kelimeler

• Biotomorfizma,𝑓-cebiri,𝑑-cebiri,hemen hemen 𝑓-cebiri,yarıasal 𝑓-cebiri

The f-algebra Structure of Orthomorphisms and Bi-orthomorphisms on Riesz Space and Relation with Some Other Algebra

Öz

𝑓-Algebra, 𝑑−Algebra, almost 𝑓−Algebra and semiprime 𝑓−Algebra is introduced and is worked their relations by Aliprantis and Burkinshaw (2006) . The concepts of homomorphism, isomorphism, automorphism and biortomorphism on Riesz spaces have been defined by mathematicians such as Zaanen, Huijsmans, Boulabiar, Buskes and Triki. 𝑓-Algebra on biorthomorphisms is worked by Buskes, Page and Yilmaz (2010) and by Boulabiar and Brahmi (2016) on Riesz Space. The algebraic structure of the biortomorphism space by examining by Boulabiar and Brahmi (2016), for e∈𝑋+, ∀𝑥1,𝑥2∈𝑋 and 𝑓1,𝑓2∈𝑂𝑟𝑡ℎ(𝑋,𝑋),

(𝑓1∗e𝑓2)(𝑥1,𝑥2)=𝑓1(𝑥1,𝑓2(𝑒,𝑥2))

with the help of the product defined as this space has been shown to have an 𝑓-algebra structure. In this study, to examine the relationship between 𝑓-Algebra, 𝑑-Algebra, almost 𝑓-Algebra and semiprime 𝑓-Algebra in 𝑂𝑟𝑡ℎ (𝑋,𝑋) space with the help of multiplication ∗e and we want to examine whether the transitions between 𝑋 semiprime 𝑓-Algebra and 𝑑-Algebra and almost 𝑓-Algebra given by the Theorem 1.10 are also provided in algebra types defined on biortomorphisms. We already know that 𝑓-algebra on biorthomorphisms in Riesz Space. In this paper, orthomorphisms is introduced on 𝑋 is denoted 𝑂𝑟𝑡ℎ (𝑋) and biorthomorphisms is denoted 𝑂𝑟𝑡ℎ (𝑋,𝑋).

Anahtar Kelimeler

• Biorthomorphisms,𝑓-algebra,𝑑-algebra,almost 𝑓−algebra,semiprime 𝑓−algebra

Kaynakça

1. Aliprantis CD, Burkinshaw O, 2006. Pozitif Operators. Springer, Dardrecth.
2. Benamor F, 2014. On Bi-orthomorphisms on a Semiprime f-Algebra. Indag. Math., 25, 44-48.
3. Birkhoff G, 1967. Lattice Theory. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 25, Providence, RI. MR 37 2638.
4. Boulabiar K, Brahmi W, 2016. Multiplicative structure of biorthomorphisms and embedding of orthomorphisms. Indag. Mathem, 13 (3), 786–798.
5. Buskes G, Page R, Yilmaz R, 2010. A note on bi-orthomorphisms. Vector Measures, Integration and Related Topics, Oper. Theory Adv. Appl., Vol. 201, Birkhauser, Basel, 99–10.
6. De Pagter B, 1981. f- Algebras and orthomorphisms, University of Leidin, Phd. Thesis.
7. Huijsmans CB, 1991. Lattice ordered algebras and f-algebras: A survey. Studies in Ekonomic Theory 2, Positive Operators, Riesz Spaces and Economics (C. D. Aliptantis, K. C. Border and W. A. J. Luxemburg, eds.) Spinger, Berlin, 151- 169.
8. Gökcan İ, 2017. Biotomorfizmalarin Çarpımsal Yapisi ve Otomorfizmalarla İlişkileri, Recep Tayyip Erdoğan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi.

9. Kusraev AG, Tabuev SN, 2008. Multiplicative Representatıon of Bilinear Operators.Siberian Mathematical Journal, Vol. 49,No. 2, pp. 287-294.
10. Luxsemburg WAJ, Zaanen AC, 1971. Riesz Spaces I. North-Holland, Amsterdam.
11. Zaanen AC, 1983. Riesz Spaces II. North-Holland, Amsterdam.
12. Zaanen, AC, 1975. Examples of orthomorphisms. J.Approximation theory 13, 192-204.