Yüksek Mertebeden Sonlu Fark Yöntemlerini Kullanarak Konveksiyon-Difüzyon Denklemin Sayısal Simülasyonları

Öz

Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği (HAD) araştırmacıları, sayısal dağılım ve fiziksel olmayan salınım gibi bazı sayısal hatalarla karşılaşırlar. Birinci mertebeden sonlu farklar yöntemibüyük sayısal dağılıma neden olur. Bu nedenle, HAD araştırmacıları sayısal dağılımı azaltmak için daha yüksek mertebeden yöntemleri tercih ederler. Literatürde Quick (Konvektif Kinematik için Kuadratik Yukarı Akış İnterpolasyonu), TCDF (üçüncü dereceden sürekli türevlenebilir fonksiyon) akı sınırlayıcı ve Uyarlamalı akı sınırlayıcı gibi bazı yüksek dereceli uzay ayrıklaştırma yöntemleri vardır. Bu yüksek dereceli uzay ayrıklaştırma yöntemleri sayısal hataları azaltsa da, birinci derece zaman ayrıklaştırma yönteminin kullanılması büyük sayısal dağılıma yol açar. Öte yandan, ikinci dereceden zaman ayrıklaştırma yöntemi sayısal dağılımı önemli ölçüde azaltır. Bu çalışmanın ilk amacı, ikinci dereceden doğruluktakiCrank-Nicolson zaman ayrıklaştırma yöntemi ile TCDF uzaysal ayrıklaştırma tekniklerinin bir kombinasyonunu önermektir. İkinci olarak, bu çalışma diğer araştırmacıların çalışmalarını kolaylaştırmak için tüm sayısal simülasyon kodlarını Matlab ortamında sunmaktır.

Anahtar Kelimeler

• Sonlu Fark Yöntemi
• Yüksek Dereceli Yöntemler
• Sayısal Simülasyon.

Numerical Simulations of Convection-Diffusion Equation Using Higher-Order Finite Difference Techniques

Öz

Computational Fluid Dynamic (CFD) researchers encounter some numerical errors namely numerical dispersion and unphysical oscillation. First-order finite difference technique causes to large numerical dispersion. Therefore, CFD researchers prefer higher-order methods in order to decrease the numerical dispersion. There are some higher-order space discretization methods in literature such as Quick (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics), TCDF (third order continuously differentiable function) flux limiter and Adaptive flux limiter. Although these higher-order space discretization methods diminish the numerical errors, the use of first-order time discretization method leads to huge numerical dispersion. On the other hand, second-order time discretization method significantly reduces numerical dispersion. First objective of this study is to propose combination of second-order accurate Crank-Nicolson time discretization method and TCDF spatial discretization techniques. Secondly, this study is to present all numerical simulation codes in Matlab environment to make other researchers’ works easy.

Anahtar Kelimeler

• Finite Difference Technique
• Higher-Order Methods
• Numerical Simulation

Kaynakça

1. [1]Wolcott, D., H. Kazemi, and R. Dean. A practical method for minimizing the grid orientation effect in reservoir simulation. in SPE annual technical conference and exhibition. 1996. Society of Petroleum Engineers.
2. [2]Leonard, B.P.J.C.m.i.a.m. and engineering, Astable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation. 1979. 19(1): p. 59-98.
3. [3]Zhang, D., et al., A review on TVD schemes and a refined flux-limiter for steady-state calculations. 2015. 302: p. 114-154.
4. [4]Jiang, J. and R.M. Younis. An Efficient Fully-Implicit MFD-MUSCL Method Based on a Novel Multislope Limiting Procedure. in SPE Reservoir Simulation Conference. 2017. Society of Petroleum Engineers.
5. [5]ÜNAL, O., Simulation of Immiscible Displacement of Petroleum via Secondand Third Order Finite Differencing Techniques. 2020.
6. [6]Peaceman, D.W., Fundamentals of numerical reservoir simulation. 2000: Elsevier.
7. [7]Ertekin, T., J.H. Abou-Kassem, and G.R. King, Basic applied reservoir simulation. 2001.
8. [8]Liu, J., High-resolution methods for enhanced oil recovery simulation. 1993, University of Texas at Austin.

9. [9]Harten, A.J.S.J.o.N.A., On a class of high resolution total-variation-stable finite-difference schemes. 1984. 21(1): p. 1-23.
10. [10]Sweby, P.K.J.S.j.o.n.a., High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. 1984. 21(5): p. 995-1011.
11. [11]Crank, J. and P. Nicolson. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat-conduction type. in Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1947. Cambridge University Press.