Haar Dalgacık Yöntemi ile Diferansiyel Denklemlerin Çözümü

Öz

Bu makalede, diferansiyel denklemlerin Haar dalgacık yöntemi ile sayısal çözümü, çözüm aralığının üniform (eşit alt aralıklı) veya üniform olmayan (eşit olmayan alt aralıklı) olmasına göre iki kategoride incelenmiştir.Sayısal çözümün yapıldığı aralıkta artımların üniform olup olmaması Haar dalgacıkları ve integrallerinin hesaplanmasında etkili olmaktadır. Haar dalgacıkları [0, 1] aralığında tanımlanır. [0, 1] aralığından farklı bir aralıktaki bir diferansiyel problem için, çözüm aralığı alt sınır ve üst sınır farkı ve bu farkın kuvvetlerinin kullanılması ile [0, 1] aralığındaki Haar matrislerinin çözüm aralığına taşınabildiği görülmüştür. Böylece farklı bir dönüşüme gerek kalmaz. Üniform olmayan Haar matrisleriyle, çözüm aralığının kritik bölgelerinde hassasiyet artırılabilir. Kesinliği iyileştirmek için, çözüm bölgesinde bir kollokasyon noktası sıklaştırma tekniği geliştirilmiştir. Hem geliştirilen hem de literatürde mevcut olan sıklaştırma teknikleri ile yapılan sayısal çözümler, kesin çözümle karşılaştırılmıştır. Bu çalışmada incelenen diferansiyel denklemler için geliştirilen sıklaştırma yöntemi kullanılarak elde edilen sayısal sonuçlar ile kesin çözümler arasında yüksek bir uyum gözlemlenmiştir.

Anahtar Kelimeler

• Haar dalgacıkları
• Diferansiyel Denklemler
• sayısal Çözüm
• Haar Matrisleri
• Üniform ve Üniform Olmayan Çözüm Aralığı

Solution of Differential Equations Employing Haar Wavelets Methods

Öz

In this paper, the numerical solution of differential equations with the Haar wavelet method is examined in two categories according to whether the solution interval is uniform (equal sub-spaced) or non-uniform (unequal sub-spaced). Whether the increments are uniform or not in the range of numerical solution is effective in the calculation of Haar wavelets and their integrals. Haar wavelets are defined in the range [0, 1]. A differential problem is defined in an interval different from the interval [0, 1], it is seen that the matrices defined in the solution interval can be defined by multiplying a coefficient obtained depending on the interval and the powers of this coefficient with the Haar matrices. Thus, there is no need for a different transformation. With non-uniform Haar matrices, the precision can be increased in the critical regions of the solution range. To improve the precision a collocation point increment method was developed in the solution region. Numerical solutions both developed and available in the literature are compared to exact solution. For the examined differential equations in this work, good agreements have been observed between the obtained numerical results that employ developed increment method and the exact solutions.

Anahtar Kelimeler

• Haar Wavelets
• Differential Equations
• Numerical Solutions
• Haar Matricies
• Uniform and non-uniform interval solution

Kaynakça

1. Berwal N., Panchal D., Parihar CL. Haar wavelet method for numerical solution of telegraph equations. Italian Journal of Pure and Applied Mathematics 2013; (30): 317–328.
2. Cattani C., Pecoraro M. Nonlinear differential equations in wavelet bases 2000; 3(4): 4–10.
3. Cattani C. Haar wavelets based technique in evolution problems. Proceedings of the Estonian Academy of Sciences, Physics, Mathematics 2004; 53(1): 45.
4. Chen CF., Hsiao CH. Haar wavelet method for solving lumped and distributed-parameter systems. IEE Proceedings - Control Theory and Applications 1997; 144(1).
5. Graps A. An introduction to wavelets. IEEE Computational Science and Engineering 1995; 2(2): 50–61.
6. Haar A. Zur theorie der orthogonalen funktionensysteme. Mathematische Annalen 1910; 69(3): 331–371.
7. Heydari M., Avazzadeh Z., Hosseinzadeh N. Haar wavelet method for solving high-order differential equations with multi-point boundary conditions. Journal of Applied and Computational Mechanics 2022; 8(2): 528–544.
8. Lepik Ü. Numerical solution of differential equations using Haar wavelets. Mathematics and Computers in Simulation 2005; 68(2): 127–143.

9. Lepik Ü. Numerical solution of evolution equations by the Haar wavelet method. Applied Mathematics and Computation 2007; 185(1): 695–704.
10. Lepik Ü. Solving integral and differential equations by the aid of non-uniform Haar wavelets. Applied Mathematics and Computation 2008; 198(1): 326–332.
11. Lepik, Ü. Haar wavelet method for solving stiff differential equations. Mathematical Modelling and Analysis 2009a; 14(4): 467–481.
12. Lepik Ü. Solving fractional integral equations by the Haar wavelet method. Applied Mathematics and Computation 2009b; 214(2): 468–478.
13. Lepik Ü. Solving PDEs with the aid of two-dimensional Haar wavelets. Computers & Mathematics with Applications 2011; 61(7): 1873–1879.