Kesir Türevli Diferansiyel Denklemlerin Kollokasyon Yöntemi ile Çözümü

Öz

Mühendislik problemlerini ve doğa olaylarını bir diferansiyel denklem aracılığıyla matematiksel bir formda yazmak ve ardından bu denklemi çözerek olgu hakkında bazı sonuçlara ulaşmak bilimsel uğraşının önemli bir kısmıdır. Özellikle değişimin göz önüne alındığı olayların incelemesinde tam sayılı veya kesir türevli denklemler kullanılır. Kesir türevli denklemleri içeren bazı çalışmalar termoelastisite, titreşim ve difüzyon süreçleri, biyomühendislik konularında verilmiştir. Ayrıca fizik, genetik, biyoloji, ekonomi ve istatistik gibi bilim dallarındaki çeşitli problemler bu tip denklemlerle incelenmiştir. Kesir türevli denklemler, sönümün frekansa bağlı olduğu malzemeli modelleri tahmin etmekte ve ayrıca gerçek fiziksel sistemlerin hareketini tanımlamada, viskoz bir akışkan içine daldırılmış rijit bir plakanın veya bir akışkan içindeki bir gazın hareketinin modellenmesinde kullanılmaktadır. Bu tür denklemlerin yaklaşık çözümlerinin bulunması hala önemli bir çalışma sahasıdır. Bu çalışmada ağırlıklı kalanlar yöntemlerinden olan kollokasyon, kesir türevli denklemlerin yaklaşık çözümünü bulmak amacıyla önerilmiştir. Yöntem sayesinde incelenen problemlerin çözümleri indirgendikleri denklem sisteminin çözümüyle bulunmuştur. Kollokasyon ile seçilen test problemlerine basit işlem ve programlama adımlarıyla yaklaşık çözümler bulunmuştur. Yöntemin çalışma algoritması verilerek, lineer olan veya olmayan, sınır ve başlangıç değer problemlerine uygulanması tartışılmıştır. Kollokasyonla bulunan değerler ile diğer araştırmacıların sonuçları arasında uyum yöntemin basit ve etkili bir yaklaşık çözüm yöntemi olduğunu göstermektedir.

Anahtar Kelimeler

• Sayısal Çözüm
• Kollokasyon yöntemi
• Lineer kesirli diferansiyel denklemler
• Lineer olmayan kesirli diferansiyel denklemler

Solution of Fractional Differential Equations by Collocation Method

Öz

The formulation of engineering problems and natural phenomena in terms of differential equations and the subsequent solution of these equations to obtain information is a major activity of the scientific effort. Such problems, especially in which variations have to be considered, are analyzed utilizing integer-order or fractional-order differential equations. Applications involving fractional order differential equations have been related to thermoelasticity, vibration analysis, diffusion processes, and biomedical engineering. Aside from that, some problems across the wide multidisciplinary of physics, genetics, biology, economics, and statistics have also been addressed via fractional kinds of equations. Fractional order differential equations perfectly fitting in considering certain frequency-dependent damping materials modeling and more accurate detailing of the real physical phenomenon, say, the mechanical motion of a rigid plate immersed into the viscous medium, or the realistic collective behavior of gas particles submerged in the liquid. The quest to find approximate solutions for such equations remains a hot area of research. This paper proposes the collocation method, one of the weighted residual techniques, to determine approximate solutions for fractional-order differential equations. Using this method, the solutions to the examined problems are obtained by solving the reduced systems of equations. Approximate solutions to some test problems have been obtained by the collocation method using some simple computational and programming steps. The working algorithm of the method is given, as well as its application to linear or non-linear, boundary value and initial value problems. The agreement between the present results and those of other researchers shows that the method is simple and effective for generating approximate solutions.

Anahtar Kelimeler

• Numerical solution
• Collocation method
• Linear fractional differential equations
• Nonlinear fractional differential equations

Kaynakça

1. Albadarneh RB., Batiha IM., Zurigat M. Numerical solutions for linear fractional differential equations of order 1 < α < 2 using finite difference method (FFDM). Journal of Mathematics and Computer Science 2016; 16(1): 103-111.
2. Arıkoğlu A., Özkol İ. Solution of fractional differential equations by using differential transform method. Chaos, Solitons & Fractals 2007; 34(5): 1473-1481.
3. Benghorbal MM. Power series solutions of fractional differential equations and symbolic derivatives and integrals. Ph.D. dissertation, Faculty of Graduate Studies, The University of Western Ontario, Canada, 2004.
4. Bota C., Căruntu B. Analytical approximate solutions for quadratic Riccati differential equation of fractional order using the Polynomial Least Squares Method. Chaos, Solitons & Fractals 2017; 102: 339-345.
5. Cang J., Tan Y., Xu H., Liao SJ. Series solutions of non-linear Riccati differential equations with fractional order. Chaos, Solitons & Fractals 2009; 40(1): 1-9.
6. Cardone A., Conte D. Stability analysis of spline collocation methods for fractional differential equations. Mathematics and Computers in Simulation 2020; 178: 501-514.
7. Daraghmeh A., Qatanani N., Saadeh A. Numerical solution of fractional differential equations. Applied Mathematics 2020; 11: 1100-1115.
8. Fathy M., Abdelgaber KM. Approximate solutions for the fractional order quadratic Riccati and Bagley-Torvik differential equations. Chaos, Solitons & Fractals 2022; 162: 112496.

9. Hosseinnia SH., Ranjbar A., Momani S. Using an enhanced homotopy perturbation method in fractional differential equations via deforming the linear part. Computers & Mathematics with Applications 2008; 56(12): 3138-3149.
10. Karcı A. Kesir dereceli türevin yeni yaklaşımının özellikleri. Gazi Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Dergisi 2015; 30(3): 487-501.
11. Khalil R., Al Horani M., Yousef A., Sababheh M. A new definition of fractional derivative. Journal of Computational and Applied Mathematics 2014; 264: 65-70.
12. Li Y., Sun N. Numerical solution of fractional differential equations using the generalized block pulse operational matrix. Computers & Mathematics with Applications 2011; 62(3): 1046-1054.
13. Li Y., Sun N., Zheng B., Wang Q., Zhang Y. Wavelet operational matrix method for solving the Riccati differential equation. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 2014; 19(3): 483-493.
14. Momani S., Odibat Z. Numerical comparison of methods for solving linear differential equations of fractional order. Chaos, Solitons & Fractals 2007; 31(5): 1248-1255.
15. Odibat Z., Momani S. Modified homotopy perturbation method: application to quadratic Riccati differential equation of fractional order. Chaos, Solitons & Fractals 2008; 36(1): 167-174.
16. Sivalingam SM., Pushpendra K., Govindaraj V. A neural networks-based numerical method for the generalized Caputo-type fractional differential equations. Mathematics and Computers in Simulation 2023; 213: 302-323.
17. Wang Z., Chen L., Song S., Cong PX., Ruan Q. Automatic cyber security risk assessment based on fuzzy fractional ordinary differential equations. Alexandria Engineering Journal 2020; 59(4): 2725-2731.
18. Zhijun M., Mingzu Y., Huang J., Lei S. Numerical solutions of nonlinear fractional differential equations by alternative Legendre polynomials. Applied Mathematics and Computation 2018; 336: 454-464.