Special Helices with Fermi-Walker Derivative on Equiform Differential Geometry in Symplectic Space

Öz

The Fermi-Walker derivative and slant helices play an important roles in skillful applications. In this paper, we first provide a geometrical description of symplectic regular curves in a 4-dimensional symplectic space. In addition, we construct a symplectic frame on equiform differential geometry using and mainly focus on the relationship between the Fermi-Walker derivative and the Frenet fields of curves. On the other hand, we have dealt with the properties of (k,m)-type slant helices using Fermi-Walker transformation on equiform differential geometry in symplectic space. Then, we construct different type slant helices for Fermi-Walker transportations along with non-vanishing vector field in symplectic space spacetime. In addition, we obtain some new characterization on slant helices by using the Fermi-Walker derivative for symplectic regular curves. With this representation, we suggest that (k,m) type helices are the necessary and sufficient condition with Fermi-Walker derivative. Finally, we give an example for a symplectic frame

Anahtar Kelimeler

• helix
• Fermi-walker derivative
• symplectic space

Simplektik Uzayda Equiform Diferensiyel Geometri Üzerine Fermi-walker Türev İle Özel Helisler

Öz

Fermi-Walker türevi ve eğik helisler, ileri düzey uygulamalarda önemli bir rol oynamaktadır. Bu çalışmada öncelikle, 4-boyutlu simplektik bir uzayda simplektik düzenli eğrilerin geometrik bir tanımını sunuyoruz. Ayrıca, equiform diferansiyel geometri çerçevesinde bir simplektik çatı oluşturuyor ve esas olarak eğrilerin Fermi-Walker türevi ile Frenet alanları arasındaki ilişkiye odaklanacağız. Ayrıca, simplektik uzayda equiform diferansiyel geometri kullanılarak Fermi-Walker dönüşümü aracılığıyla (k,m)-tip eğik helislerin özellikleri ele alınmıştır. Bu bağlamda, simplektik uzay-zamanda sıfırdan farklı bir vektör alanı boyunca Fermi-Walker taşınımı kullanılarak farklı türde eğik helisler inşa edeceğiz. Ayrıca, simplektik düzenli eğriler için Fermi-Walker türevi yardımıyla eğik helislere ilişkin bazı yeni karakterizasyonlar elde edeceğiz. Bu durumda, (k,m)-tip helislerin Fermi-Walker türeviyle ilişkili olarak gerekli ve yeterli koşulları sağladığını göstereceğiz. Son olarak, bir simplektik çatıya ait örnek bir durum ifade edeceğiz.

Anahtar Kelimeler

• helis
• Fermi-Walker türev
• simplektik uzay

Kaynakça

1. Abdel-Aziz HS., Saad MK., Abdel-Salam AA. Equiform differential geometry of curves in minkowski space-time. arXiv.org/math/ arXiv:1501.02283.
2. Ali A., Lopez R. Slant helices in Minkowski space E₁³. J. Korean Math. Soc. 2011; 48: 159-167.
3. Ali AT., Turgut M. Some characterizations of slant helices in Euclidean space E^n. Hacet. J. Math. Stat. 2010; 39(3): 327-336.
4. Çiçek Çetin E., Bektaş M. k-type slant helices for symplectic curve in 4-dimensional symplectic space. Facta Universitatis, Series: Mathematics and Informatics 2020; 641-646.
5. Çiçek Çetin E., Bektaş M. Some new characterizations of symplectic curve in 4-dimensional symplectic space. Communications in Advanced Mathematical Sciences 2020; 2(4): 331-334.
6. Çiçek Çetin E., Bektaş M. The characterizations of Affine symplectic curvesin R⁴. Mathematics 2019; 7(1): 110.
7. Ferrandez A., Gimenĕz A., Lucas P. Null generalized helices in Lorentz-Minkowski space. J. Phys. A: Math. Gen. 2010; 35: 8243-8251.
8. Kamran N., Olver P., Tenenblat K. Local symplectic invariants for curves. Commun. Contemp. Math. 1960; 11(2): 165-183.

9. Karakuş F., Yaylı Y. The fermi–walker derivative in minkowski space E₁³. Advances in Applied Clifford Algebras 2017; 27,1353–1368.
10. Körpınar T. On the fermi walker derivative for inextensibleflows. Zeitschrift für Naturforschung A- A Journal of Physical Sciences 2015; 70a: 477-482.
11. Pripoae GT. Generalized fermi–walker parallelism ınduced by generalized schoute connections. Geometry Balkan Press Bucharest. 2000; 117-125.
12. Struik DJ. Lectures on classical differential geometry. Dover,1988; New York.
13. Önder M., Kazaz M., Kocayiğit H., Kılıç O. B₂-slant helix in Euclidean 4-space E⁴. Int J. Cont. Mat. Sci. 2008; 3: 1443-1440.
14. Valiquette F. Geometric affine symplectic curve flows in R⁴. Diff. Geo. Appl. 2012; 30(6): 631-641. Yılmaz M., Bektaş M. (k,m) -type slant helices for partially null and pseudo null curves in Minkowski space E₁⁴. Applied Mathematics and Nonlinear Sciences 2020; 5(1): 515-520.