Investigating Prospective Mathematics Teachers’ Understanding of the Boundedness of Infinite Number Sets

Abstract

In this study we aim to reveal the conceptions of preservice mathematics teachers regarding the boundedness of infinite number sets. The research is conducted with 51 teacher candidates attending to the Primary Mathematics Teaching program of a state university. A form consisting of open-ended questions is applied to collect data. Additionally, semi-structured interviews are conducted with 13 teacher candidates in order to obtain more detailed information. The data obtained is analyzed using the method of content analysis and presented in tabels. According to the results obtained, it is determined that prospective teachers perceived infinite number sets as "lacking at least one boundary", "unbounded", "without the lowest element" and "without the greatest element". However, it is found that prospective teachers think the lower bound as the lowest element of the set and the upper bound as the greatest element of the set.

Keywords

• Infinite number sets
• boundedness
• lower bound
• upper bound
• greatest element
• lowest element

Matematik Öğretmeni Adaylarının Sonsuz Sayı Kümelerinin Sınırlılığına İlişkin Kavrayışlarının İncelenmesi

Abstract

Bu çalışmada matematik öğretmen adaylarının sonsuz sayı kümelerinin sınırlılığına ilişkin kavrayışlarını ortaya koymak amaçlanmıştır. Araştırma bir devlet üniversitesinin İlköğretim Matematik Öğretmenliği programına devam eden 51 öğretmen adayıyla yürütülmüştür. Verilerin toplanması için açık uçlu sorulardan oluşan bir form uygulanmıştır. Ayrıca daha ayrıntılı bilgi edinebilmek amacıyla 13 öğretmen adayı ile yarı yapılandırılmış görüşmeler gerçekleştirilmiştir. Elde edilen veriler içerik analizi yöntemi ile analiz edilmiş ve tablolar halinde sunulmuştur. Elde edilen sonuçlara göre öğretmen adaylarının sonsuz sayı kümelerini “en az bir sınırdan yoksun” “sınırlandırılmaz”, “en küçük elemanı olmayan” ve “en büyük elemanı olmayan” şeklinde algıladıkları tespit edilmiştir. Bununla birlikte öğretmen adaylarının, alt sınırı kümenin en küçük elemanı, üst sınırı ise kümenin en büyük elemanı olarak kabul ettikleri bulgulanmıştır.

Keywords

• Sonsuz sayı kümeleri
• sınırlılık
• alt sınır
• üst sınır
• en büyük eleman
• en küçük eleman

References

1. Aşık, S. (2010). Tanımsızlık ve belirsizlik kavramlarının öğretmen ve öğretmen adaylarının görüş ve performansları bağlamında Incelenmesi: 0, 1 ve ∞ ile yapılan işlemler [An Investıgatıon Teachers And Teachers Candıdates' Thoughts And Performances Of Undefıned And Indetermınate Concepts: Operatıons Wıth 0, 1 And ∞] (Thesis No: 279904) [Master's thesis, Marmara University]. https://tez.yok.gov.tr/UlusalTezMerkezi/giris.jsp
2. Aztekin, S. (2008). Farklı yaş gruplarındaki öğrencilerde yapılanmış sonsuzluk kavramlarının araştırılması [Investigating of infinity concepts constructed in different age groups of students] (Thesis No: 219685) (Doctoral dissertation, Gazi University). https://tez.yok.gov.tr/UlusalTezMerkezi/giris.jsp
3. Baragli, S. (2004). Teachers’ convictions on mathematıcal infinity (Doctoral dissertation, Unıverzıta Komenského Fakulta Matematıky, Fyzıky A Informatıky).
4. Belmonte, J. L., & Sierra, M. (2011). Modelos intuitivos del infinito y patrones de evolución nivelar. Revista latinoamericana de investigación en matemática educativa, 14(2), 139-171. https://www.scielo.org.mx/scielo.php?pid=S1665-24362011000200002&script=sci_arttext
5. Bolzano, B. (1950). Paradoxes of the infinite [F. Prihonsky, Trans.] [Introduction by D. Steele]. Routledge and Kegan Paul Ltd. [Original work published 1851].
6. Bozkuş, F., Uçar, Z. T. ve Çetin, İ. (2015). Ortaokul öğrencilerinin sonsuzluğu kavrayışları [Middle School Students’ Conceptions of Infinity]. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education (TURCOMAT), 6(3), 506-531. https://doi.org/10.16949/turcomat.53890
7. Cohen, L., Manion, L. & Morrison, K. (2000). Research methods in education, (5th edition). London: Routledge.
8. Çelik, D., ve Akşan, E. (2013). Matematik öğretmeni adaylarının sonsuzluk, belirsizlik ve tanımsızlık kavramlarına ilişkin anlamaları [Preservice Mathematics Teachers’ Perceptions of Infinity, Indeterminate and Undefined]. Necatibey Eğitim Fakültesi Elektronik Fen ve Matematik Eğitimi Dergisi, 7(1), 166-190. https://doi.org/10.12973/nefmed158

9. Çevik, A. (2019). Matematik felsefesi ve matematiksel mantık [Philosophy of mathematics and mathematical logic]. Nesin Matematik Köyü Yayıncılık, İstanbul.
10. Creswell, J. W. (2017). Araştırma deseni: Nitel, nicel ve karma yöntem yaklaşımları [Research design: Qualitative, quantitative and mixed methods approaches]. Eğiten Kitap.
11. Date-Huxtable, E., Cavanagh, M., Coady, C. & Easey, M. (2018). Conceptualisations of infinity by primary pre-service teachers. Mathematics Education Research Journal, 30, 545-567. https://doi.org/10.1007/s13394-018-0243-9
12. Doğan, M., & Ünan, Z. (2011). Sonlu ve sayılabilir sonsuz kümeler ve sayılamayan sonsuz kümelerin bir modellemesi [Finite set and countable infinite sets and uncountable infınite sets modelling]. Education Sciences, 6(2), 1938-1950. https://dergipark.org.tr/tr/pub/nwsaedu/issue/19820/212111
13. Dubinsky, E., Weller, K., Mcdonald, M. A. ve Brown, A. (2005). Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: An APOS-based analysis: Part 1. Educational Studies in Mathematics, 58, 335-359. https://doi.org/10.1007/s10649-005-2531-z
14. Ergene, Ö. (2021). Öğretmen adayları gözünden sonsuzluk kavramı ve matematik dersi öğretim programı [The concept of ınfinity and mathematics lesson curriculum from the perspectives of pre-service teachers]. Van Yüzüncü Yıl Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 18(2), 123-151. https://doi.org/10.33711/yyuefd.998263
15. Ferreirós, J. (2016). The early development of set theory. Stanford Encyclopedia of Philosophy. https://seop.illc.uva.nl/entries/settheory-early/ adresinden erişilmiştir.
16. Fischbein, E. (1979). Intuition and mathematical education. MILABLE FROM, 33.
17. Güven, B. ve Karataş, İ. (2004). Sonsuz kümelerin karşılaştırılması: Öğrencilerin kullandıkları yöntemler [Comparison of infinite sets: Methods used by students]. Dokuz Eylül Üniversitesi Buca Eğitim Fakültesi Dergisi 15, 65-73. http://www.befjournal.com.tr/index.php/dergi/index
18. İşleyen, T. (2016). Ortaöğretim öğrencilerinin sonsuzluk algıları [High school students’ perceptıons of infinity]. Kastamonu Eğitim Dergisi, 21(3),1235-1252. https://dergipark.org.tr/tr/pub/kefdergi/issue/22605/241573#article_cite
19. Jirotková, D. & Littler, G. (2004). Student's concept of ınfinity in the context of a simple geometrical construct. International Group for the Psychology of Mathematics Education, 3, 125-132. https://eric.ed.gov/?id=ED500996
20. Karaçay, T. (2014). Soyut matematik: akıl yürütmenin başlangıcı [Abstract mathematics: the beginning of reasoning]. Seçkin Yayıncılık, Ağustos 2014, Ankara.
21. Kim, D. J., Sfard, A., & Ferrini-Mundy, J. (2005). Students' colloquial and mathematical discourses on ınfinity and limit. International Group for the Psychology of Mathematics Education, 3, 201-208. https://eric.ed.gov/?id=ED496910
22. Kolar, V. M., & Cadez, T. H. (2012). Analysis of factors influencing the understanding of the concept of infinity. Educational Studies in Mathematics, 80, 389–412. https://doi.org/10.1007/s10649-011-9357-7
23. Mamolo, A. & Zazkis, R. (2008). Paradoxes as a window to infinity. Research in Mathematics Education, 10(2), 167-182. https://doi.org/10.1080/14794800802233696
24. Mancosu, P. (2016). Abstraction and infinity. Oxford University Press.
25. Miles, M, B., and Huberman, A. M. (1994). Qualitative data analysis: An expanded Sourcebook. (2nd ed). Thousand Oaks, CA: Sage. Monaghan
26. Moore, A. W. (1991). The infinite. Routledge.
27. Narli, S. & Baser, N. E. (2008). Cantorian set theory and teaching prospective teachers. Online Submission, 3(2). https://eric.ed.gov/?id=ED506476
28. Narlı, S., & Narlı, P. (2012). Sonsuz sayı kümeleri ışığında ilköğretim öğrencilerinin sonsuzluk algı ve yanılgılarının belirlenmesi [Determination of primary school students’ perceptions and misconceptions of infinity using infinite number sets]. Dokuz Eylül Üniversitesi Buca Eğitim Fakültesi Dergisi, (33), 122-133. https://dergipark.org.tr/en/pub/deubefd/issue/25117/265203
29. Nesin, A. (2019). Matematik ve sonsuz [Mathematics and infinity]. Nesin Yayıncılık.
30. Oflaz, G. ve Polat, K. (2022). Sonsuzluk, tanımsızlık ve belirsizlik kavramlarına ilişkin epistemolojik engellerinin belirlenmesi [Determining the epistemological obstacles regarding the concepts of infinity, undefined and uncertainty]. Cumhuriyet Uluslararası Eğitim Dergisi, 11(2), 301-320. https://doi.org/10.30703/cije.993425
31. Özmantar, M. F., Bingölbali, E., ve Akkoç, H. (2008). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri [Mathematical misconceptions and solutions]. Ankara: Pegem Akademi.
32. Pala, O. (2016). İlköğretim matematik öğretmen adaylarının sonsuz kümelerin denkliği konusundaki kanıt imajlarının incelenmesi [An Investigation of Proof Images of Prospective Elementary Mathematics Teachers About Equivalence of Infinity Sets] (Thesis No: 430724) (Master's thesis, Dokuz Eylul University). https://tez.yok.gov.tr/UlusalTezMerkezi/giris.jsp
33. Pala, O. ve Narlı, S. (2018a). Sonsuzluğun tarihsel gelişimi ve öğretimi üzerine [The historical development and teaching of infinity]. Apsistek, Ekim 2018.
34. Pala, O., ve Narlı, S. (2018b). Matematik öğretmeni adaylarının sonsuz kümelerin denkliği ile ilgili ispatlama yaklaşımları ve yaşadıkları güçlükler [Prospective mathematics teachers’ proving approaches and difficulties related to equivalence of ınfinity sets]. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education, 9(3), 449-475. https://doi.org/10.16949/turkbilmat.414818
35. Singer, M., & Voica, C. (2003, September). Perception of infinity: does it really help in problem solving. In The Mathematics Education into the 21st Century Project Proceedings of the International Conference. https://sites.unipa.it/grim/21_project/21_brno03_Singer.pdf
36. Singer, F. M., & Voica, C. (2008). Between perception and intuition: Learning about infinity. The Journal of Mathematical Behavior, 27(3), 188-205. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2008.06.001
37. Tirosh, D., & Tsamir, P. (1996). The role of representations in students’ intuitive thinking about infinity. International journal of mathematical education in science and technology, 27(1), 33-40. https://doi.org/10.1080/0020739960270105
38. Tsamir, P. (1999). The transition from comparison of finite to the comparison of infinite sets: Teaching prospective teachers. Educational Studies in Mathematics, 38(1), 209-234. https://doi.org/10.1023/A:1003514208428
39. Waldegg, G. (1996). Identificación de obstáculos epistemológicos en el estudio del infinito actual. Revista Mexicana de Investigación Educativa 1 (1), 107–122. https://www.redalyc.org/pdf/140/14000108.pdf
40. Yin, R. K. (2009). Case study research: Design and methods (Vol. 5). sage.