Öğrenciler Öğrendiklerini Öğretmenler Öğrettiklerini Nasıl Kanıtlar? : Öğretmen Bir Fark Yaratır mı?

Öz

Problem Durumu: Erken yaşlardan itibaren muhakeme becerisinin kazanımı daha sonraki yıllarda formel anlamda kanıt yapma becerisini etkileyeceğinden oldukça önemlidir. Bu becerinin kazanımı süreçte ancak öğretmenlerin kullandıkları yaklaşımlar ile mümkündür. Öğretmenlerin kanıt yapmak için gerekli olan matematiksel bir iddiayı doğrulama ya da çürütme sürecinde yapılması gerekenleri hazır olarak sunmak ve bir başka durumda öğrencilerden de benzer mantığı uygulamalarını beklemek yerine öğrencilerin düşünme becerilerini geliştirecek, nasıl ve nedenin sorgulandığı, tartışıldığı zengin ortamlar hazırlamaları gereklidir. Bu noktada Türkiye’de öğretim programlarının yeniden yapılanması ile birlikte, ortaöğretim öncesi öğrencilerinin kanıt yapma bağlamında, matematiksel bir ifadeyi nasıl kanıtladıkları, bu süreçte hangi muhakeme ve kanıt türlerini kullandıkları, bu öğrencilerin öğretmenlerinin de aynı ifadeyi nasıl kanıtladıkları ve öğretimlerine nasıl yansıttıkları araştırılması gereken bir problem olarak görülmektedir.

Araştırmanın Amacı: Bu araştırmanın amacı, ortaokul öğrencilerinin ve öğretmenlerinin verilen matematiksel ifadelere ilişkin muhakeme etme ve kanıtlama süreçlerini belirlemektir.  Araştırmanın, ortaokul düzeyinde öğrencilerin ve öğretmenlerinin kanıt yapma bağlamında matematiksel bir ifadeyi nasıl kanıtladıklarına, bu süreçte öğrencilerin yaşadıkları zorluklara aynı zamanda öğretmenlerin ve öğrencilerin muhakeme etme ve kanıtlama süreçleri aralarındaki ilişkiyi belirleyerek öğretmenlerin de bu süreçteki rollerine dikkat çekme açısından önemli olduğu söylenebilir.

Araştırmanın Yöntemi: Bu çalışmada temel nitel araştırma yaklaşımı benimsenmiştir. Çalışmanın katılımcılarını farklı mesleki deneyimlere sahip 2 ortaokul matematik öğretmeni ile bu öğretmenlerin 6., 7., 8. sınıfına devam eden ve her sınıftan üç öğrenci olmak üzere toplam 18 öğrenciden oluşturmaktadır. Zengin bilgiye sahip olduğu düşünülen durumlar üzerinde çalışma olanağı verdiğinden, bu çalışmada amaçlı örnekleme yöntemi çeşitlerinden ‘ölçüt örnekleme’ kullanılmıştır. Öğretmenlerin çalışma süreleri (5 yıl ile 30 yıl), öğrencilerin başarı düzeyleri(yüksek, orta, düşük) örneklem ölçütü olarak belirlenmiş, gönüllülük esas alınmıştır.

Araştırma verilerinin toplanmasında nitel araştırma yöntemlerinden biri olan klinik görüşme tekniği kullanılmış ve görüşmeler video kameraya çekilmiştir. Verilerin analizinde tematik analiz yöntemi kullanılmıştır. Verilerin analizi yapılırken öncelikle başlangıç kodları iki alan uzmanı tarafından bağımsız şekilde belirlenmiş ve araştırmacılar bir araya gelerek belirlenen kodları karşılaştırmıştır. Kodlar konusunda görüş birliğine varıldıktan sonra temaların oluşturulması için araştırmacılar yeniden önce bağımsız sonra birlikte çalışarak temaların da tutarlı olmasını sağlamışlardır. Kodlar ve temaların oluşturulması sürecinde iki araştırmacı arasında görüş birliğine varılarak ana temalar ve alt temalar belirlenmiştir. Daha sonra ayrıntılı bir biçimde tanımlanan ve adlandırılan tema ve alt temalar yorumlanmıştır.

Araştırmanın Bulguları: Araştırmada ortaokul öğrencileri matematiksel bir ifadeyi doğrularken belli sayıdaki adımlardan hareketle iddia hakkında karar vermeye çalışmışlar ve bu bağlamda örüntü tanımlama, iki değişken arasındaki ilişkiyi arama ve varsayımda bulunma şeklinde eylemler gerçekleştirmişlerdir. Verilen matematiksel ifadeleri genelleme sürecinde ise henüz kanıtlanmamış aritmetiksel, sözel, görsel, cebirsel çeşitli varsayımlarda bulunmuşlardır. Varsayımda bulunurken verilen önermelerin doğru olabileceğini tahmin ederek, iddialarını örnek verme ve test etme, özellikle geometride kavramı temsil eden en fazla örnek olma özelliğine sahip prototip şekle dayalı olarak, deneme/yanılma, oran/orantı ve formüle etme gibi çeşitli eylemlerle göstermeye çalışmışlardır. Bu süreçte öğrenciler tümevarım, analojik, geri çıkarım muhakeme türlerini kullanmışlardır. Yanı sıra bazı öğrencilerin de hatalı ya da öğretmen, ders kitabı gibi bir otoriteyi referans göstererek muhakeme yoluna gittikleri gözlenmiştir. Matematiksel bir ifadenin kanıtlanması sürecinde ise öğrenciler doğrulama, açıklama ve soyutlama olmak üzere üç eylem gerçekleştirmişler yanı sıra deneysel,  sezgisel ya da mantıklı olmayan gerekçeler sunarak kanıt kapsamına alınmayan argümanlar oluşturmuşlardır. Kanıtlama sırasında genel olarak da orta ve yüksek başarı düzeyine sahip öğrenciler öncelikle bir önermenin doğruluğunu aritmetik, cebirsel ve geometrik/görsel olarak araştırmışlar daha sonra neden doğru olduğunu açıklayarak bu süreçte genel olarak tümdengelim ve geri çıkarım muhakeme türlerini seçme ve kullanma eylemlerini gerçekleştirmişlerdir. Diğer taraftan matematiksel bir iddiayı kanıtlarken ortaokul öğrencilerinin kanıt olarak ele alınamayan argümanları da söz konusu olmuştur. Bu argümanlar deneysel, sezgisel ve mantıklı olmayan gerekçeler şeklinde ele alınmıştır. Tüm sınıf ve başarı düzeyinden öğrencilerin doğrulama ve açıklama yaparken öncelikle ağırlıklı olarak örnek verme ya da deneme/yanılma yoluna gittikleri, yanı sıra genel olarak düşük ve orta başarı düzeyinden bazı öğrencilerin de doğrulama yaparken hatalı yol izledikleri görülmüştür.  Özellikle tüm sınıf düzeylerinde düşük başarı düzeyine sahip öğrenciler kanıtlama yaparken mantıklı olmayan gerekçeler sunmuşlar ve bu süreçte hatalı ya da bir otoriteyi referans göstererek gerekçelerini savunmaya çalışmışlardır. Diğer taraftan ortaokul matematik öğretmenlerinin verilen matematiksel bir ifadeyi doğrularken öğrencileri ile benzer düşünme yapılarına sahip oldukları gözlenmiştir. Öğretmenler bu süreçte örüntü tanımlama, iki değişken arasındaki ilişkiyi arama ve varsayımda bulunma şeklinde eylemler gerçekleştirmişlerdir. Verilen tüm matematiksel ifadeleri genelleme sürecinde her iki öğretmen tümdengelim bir yaklaşımla cebirsel olarak matematiksel varsayımlarda bulunmuşlardır. Matematiksel bir ifadeyi kanıtlama sürecinde ise doğrulama, açıklama ve soyutlama olmak üzere üç eylem gerçekleştirmişler yanı sıra deneysel gerekçeler sunarak kanıt kapsamına alınmayan argümanlar da oluşturmuşlardır. Kanıtlama sırasında iddiaların neden doğru olduğunu açıklayarak cebirsel, geometrik ve görsel kanıt türlerini seçerek ve tümdengelim bir yaklaşım kullanarak soyutlama yapmışlardır. Ancak öğretmenlerin de deneyimleri fark etmeksizin matematiksel ifadeleri doğrulama, açıklama ve soyutlama boyutunda istenilen düzeyde olmadıkları söylenebilir.

Araştırmanın sonuçları ve öneriler: Araştırma sonucunda, öğrencilerin matematiksel bir iddiayı kanıtlarken zorlandıkları, süreçte deneysel kanıtları kullanmayı tercih ettikleri ve daha çok tümevarım yaklaşımını benimsedikleri görülmüştür. Diğer taraftan öğretmenlerin ise genel olarak kanıt yapma eğilimlerinin daha çok doğrulama ve açıklama düzeyinde yer aldığı ve matematiksel ifadeleri kanıtlama sürecinde öğrencileri ile benzer düşünme yapılarına sahip oldukları belirlenmiştir. Sonuç olarak, öğrenciler matematiksel bir iddiayı kanıtlarken zorlanmakta, süreçte deneysel delilleri ve deneysel kanıtları kullanmayı tercih etmektedirler. Çünkü matematiksel bir ifadenin doğruluğunu örnek kullanarak göstermek onlar için geçerli bir kanıt anlamına gelmektedir. Bu durum öğretmenlerin kanıtın ne anlama geldiğini, kanıt yapma için neye gereksinim olduğunu bilmemelerinin bir sonucudur. Dolayısıyla öğretmenler kanıt yapabilmeye değil, var olan kanıtları öğretmeye eğilimlidir.

Bu bağlamda araştırma sonuçlarına dayalı olarak şu öneriler getirilebilir. Öncelikle muhakeme ve kanıt matematik öğretiminin doğal akışı içine dâhil edilmelidir. Ayrı bir konu alanı olarak ele alınmadan matematiksel içeriğin merkezine konulmalıdır. Aynı zamanda öğrencilere kanıt yapma etkinliklerinin her öğrenme alanında araç olarak kullanılabileceği vurgulanmalı, kanıtın amacının ve matematik için öneminin altı çizilmelidir. Öğrencilerin çoğunlukla tümevarım muhakemeyi kullanmaya eğilimli oldukları göz önüne alındığında ise, tümdengelim muhakemeyi gerektiren etkinliklerle çalışmaları sağlanmalıdır. Öte yandan deneysel argümanlar hiçbir sınıf seviyesinde kanıt olarak kabul edilmemelidir. Öğretmenlerin birincil kaynaklarının ders kitapları ve öğretim programları olduğu dikkate alındığında yapılacak araştırmalar bağlamında her sınıf düzeyi için matematik ders kitaplarının ve öğretim programlarının muhakeme ve kanıt standartlarını ne kadar desteklediği incelenebilir. 

Anahtar Kelimeler

• Matematik eğitimi,genelleme,varsayımda bulunma,muhakeme ve kanıt.

How Do Students Prove Their Learning and Teachers Their Teaching? Do Teachers Make a Difference?

Abstract

Problem Statement: Gaining reasoning skills in early years affects the formal proving skills in the following years, thus it is quite significant. The acquiring of this skill is only possible with the approaches that the teachers used in the process. At this point, the problem to be researched in terms of making proofs is seen in how middle school students prove a mathematical expression; what kinds of reasoning and proof types they use in this process; how the teachers of these students prove the same expression; and how they reflect it to their instruction.

Purpose of the Study: The purpose of this study is to investigate the middle school students’ and their teachers’ reasoning types and proof methods while proving a mathematical expression.

Method: A basic qualitative research design was conducted to investigate the research problems. Participants in this study were two middle school mathematics teachers who have different professional experiences, and 18 students from 6^th, 7^th and 8^th grades. A clinical interview technique was used to collect data and the interviews were video recorded. A thematic analysis method was used to analyze the data.

Findings and Results: The middle school students tried to decide on the argument by following specific cases in order to verify a mathematical expression, and in this context they performed several actions, such as pattern recognition, seeking the relationship between two variables, and making conjectures. They have performed three types of actions, namely verification, explanation and abstraction during the proving of a mathematical expression. Moreover, they have provided some arguments which were not accepted as proof, by offering experimental, intuitive or illogical justification. On the other hand, it has been observed that the middle school mathematic teachers thought in the same way that their students thought while proving a given mathematical expression.

Discussion, Conclusion and Recommendations: As a result of this study, it has been found that students had difficulties in proving mathematical statements; they preferred to use experimental proofs and mostly adapted an inductive approach. On the other hand, the proving tendency of the teachers was mostly at a verification and explanation level; they have a similar structure of thinking with their students in the process of proving mathematical expressions. Reasoning and proof should be the fundamental aspects of mathematics teaching, should play a significant role in mathematical contents without taking it independently, and should be developed in the earlier years. In addition, to what extent mathematics textbooks and mathematics curriculum in each grade level support the reasoning and proof standards should be investigated.

Keywords

• Mathematics education; generalization; making conjecture; reasoning and proof.

References

1. Arslan, C. (2007). The development of elementary school students on their reasoning and proof ideas. Unpublished doctoral dissertation. Uludag University Graduate School of Social Sciences, Bursa.
2. Aylar, E. (2014). Examination of 7th grade students’ ability on proving and their perception of proving. Unpublished doctoral dissertation. Hacettepe University Graduate School of Educational, Ankara.
3. Ball, D.L., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. In J. Kilpatrick, W. G. Martin. & D. Schifter. (Eds.), A research companion to principles and standards for school mathematics (pp. 227-236). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
4. Becker, J. R. & Rivera, F. (2006). Sixth graders’ figural and numerical strategies for generalizing patterns in algebra. In S. Alatorre, J. L.
5. Cortina, M. Saiz, & A. Mendez (Eds.), Proceeding of The 28th annual meeting of The North American Chapter of the international group for the psychology of mathematics education (Vol. 2), (pp. 95-101). Merida, Mexico: Universidad Pedagogica Nacional.
6. Bergqvist, T., Lithner, J., & Sumpter, L. (2006). Upper middle students’ task reasoning. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 31, 1495-1509.
7. Clement, J. (2000). Analysis of clinical interviews: Foundations and model viability. In A. E. Kelly, & R. A. Lesh (Eds.), Handbook of research design in mathematics and science education (pp. 547-589). London: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.
8. Guler, G., & Ekmekci, S. (2016). Examination of the proof evaluation skills of the prospective mathematics teachers: the example of sum of successive odd numbers. Journal of Bayburt Education Faculty, 11 (1), 59-83.

9. Harel, G., & Sowder, L. (1998). Students' proof schemes: results from exploratory studies. In A.H. Schoenfeld, J. Kaput, & E. Dubinsky (Eds.), Research in collegiate mathematics education (pp. 234 - 283). Providence, RI: American Mathematical Society.
10. Harel, G. (2001). The development of mathematical induction as a proof scheme: A model for DNR-based instruction. In S. Camhell & R. Zaskis (Eds.), Learning and teaching number theory (pp. 185-212). New Jersey, Ablex Publishing Corporation.
11. Iskenderoglu, T. A., & Baki, A. (2011). Quantitative analysis of pre-service elemantary mathematics teachers’ opinions about doing mathematical proof. Educational Sciences: Theory & Practice, 11(4), 2275-2290.
12. Jones, K. (2000). The student experience of mathematical proof at university level. International Journal of Mathematical Education in Scienceand Technology, 31(1), 53-60.
13. Knuth, E. J. (2002). Teachers’ conceptions of proof in the context of middle school mathematics. Journal of Mathematics Teachers Education, 5, 61 – 88.
14. Knuth, E.J., Slaughter, M., Chooppin, J., & Sutherland, J. (2002). Mapping the conceptual terrain of middle school students’ competencies in justifying and proving. In S. Mewborn, P. Sztajn, D. Y. White, H.G Wiegel, R. l. Bryant, & K. Nooney (Eds.), Prooceeding of the 24th Meeting for PME-NA (pp. 1693-1700). Athens, GA.
15. Knuth, E., & Sutherland, J. (2004). Student understanding of generality. Proceedings of the twenty-sixth annual meeting of the North American Chapter of the international group for the psychology of mathematics education (pp. 561-567). Retrieved June 14, 2015, from http://labweb.education.wisc.edu/~knuth/mathproject/papers/Knuth_PMENA04.pdf.
16. Leighton, J. P. (2003). Defining and describing reasoning. In J. P. Leighton & R. J. Sternberg (Eds.), The nature of reasoning (pp. 3-11). New York, NY: Cambridge.
17. Liamputtong, P. (2009). Qualitative data analysis: Conceptual and practical considerations. Pranee Liamputtong Health Promotion Journal of Australia, 20(2), 133-139.
18. Merriam, S. B. (2009). Qualitative research and case study applications in education. First ed-San Francisso: Jossey-Bass.
19. Miles, M. & Huberman, M. (1994). An expanded sourcebook qualitative data analysis (2nd ed.). California: Sage Publications.
20. Ministry of National Education (2013). Middle school mathematics 5-8. classes curriculum. Ankara. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2000). Principles and standards for school Mathematics. USA.
21. Reid, D. A., & Knipping, C. (2010). Proof in mathematics education research, learning and teaching. Sense Publishers: Rotterdam.
22. Rips, L. J. (1994). The psychology of proof: Deductive reasoning in human thinking. Cambridge, MA: MIT.
23. Stylianides, G. J. (2010). Engaging secondary students in reasoning and proving. Mathematics Teaching, 219, 39-44.
24. Stylianides, G. J. & Stylianides, A. J. (2009). Facilitating the transition from empirical arguments to proof. Journal for Research in Mathematics Education, 40 (3), 314-352.
25. Stylianides, G. (2008). An analytic framework of reasoning-and-proving. For The Learning of Mathematics, 28, 9-16.
26. Stylianou, D. A., Blanton, M. L., & Rotou, O. (2015). Undergraduate students’ understanding of proof: Relationships between proof conceptions, beliefs and classroom experiences with learning proof. International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education, 1(1), 91-134.
27. Uygan, C., Tanisli, D., & Kose, N. Y. (2014). Research of pre-service elementary mathematics teachers’ beliefs in proof, proving processes and proof evaluation processes. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education, 5(2), 137-157.
28. Yildirim, A., & Simsek, H. (2011). Qualitative research methods in the social sciences. Ankara: Seckin Publisher.
29. Zaskis, R., & Liljedahil, P. (2002). Generalization of patterns: The tension between algebraic thinking and algebraic notation. Educational Studies in Mathematics, 49, 379-402.