Yarıgrup Halkasında Hausdorff Serisinin Kapalı bir Formülü

Year 2020, Volume: 36 Issue: 3, 481 - 483, 31.12.2020

Osman Kelekci

Abstract

K karakteristiği sıfır olan bir cisim, u ve v cebirsel bağımsız değişkenler ve K〈u,v〉, K üzerinde rankı 2 olan serbest birleşmeli değişmeli olmayan bir cebir olsun. K〈u,v〉’deki her eleman, u ve v’nin değişmeli olmayan bir polinomu olarak yazılabilir. w=w(u,v)=log⁡(e^u e^v) polinomunun açılımı düzgün bir kuvvet serisidir ve bu denklemin w için çözümü u ve v'nin iç içe geçen komütatörleri olarak ifade edilebilen Hausdorff serisi tarafından verilir. Ancak bu seri K〈u,v〉’de kapalı formda değildir. Bu serinin kapalı bir formunu elde ederken, K〈u,v〉’den başka cebirsel yapılar düşünülebilir ve bu cebirsel yapılar içinde, seri geliştirilebilir. Sonlu elemanlı sağ sıfır yarıgubunu ve reel sayılar cismi üzerinde bu yarıgrup tarafından gerilen A yarıgrup halkasını ele alalım. Bu çalışmada, A yarıgrup halkasında bu formülün kapalı bir formu verilmiştir.

Keywords

Hausdorff serisi, Sağ sıfır yarıgrup, Yarıgrup halkası

A Closed Formula of Hausdorff Series in a Semigroup Ring

Abstract

Let K be a fileld of characteristic zero, u and v be algebraically independent variables and K〈u,v〉 be the free associative noncommutative algebra of rank 2 over K. Each element in K〈u,v〉 can be written as a noncommutative polynomial of u and v. The expression of the polynomial w=w(u,v)=log⁡(e^u e^v) is a formal power series and a solution to this equation for w is given by the Hausdorff series expressed as nested commutators of u and v. However this series is not in its closed form in K〈u,v〉. Obtaining a closed form of this series, one may consider another algebraic structure other than K〈u,v〉 and evolute the series in it. We consider the right zero semigroup with finite elements, and the semigroup ring A spanned on this semigroup over the field of real numbers. In this paper, we provide a closed form of this formula in the semigroup ring A.

Keywords

Hausdorff series, Right zero semigroup, Semigroup ring

References

• Campbell, J.E. 1897. On a law of combination of operators bearing on the theory of continuous transformation groups. Proc. London Math. Soc., 28(1897), 381-390.
• Campbell, J.E. 1897. On a law of combination of operators (second paper). Proc. London Math. Soc., 29(1897), 14-32.
• Baker, H. F. 1905. Alternants and continuous groups. Proc. London Math. Soc. II, 3(1905), 24-47.
• Hausdorff, F. 1906. Die symbolische Exponential Formel in der Gruppentheorie. Berichte über die Verhandlungen Sachsischen Akademie der Wisssenchaften zu Leipzig, 58(1906), 19-48.
• Dynkin, E.B. 1947. Evaluation of the coefficients of the Campbell-Hausdorff formula. Dokl. Akad. Nauk. SSSR., 57(1947), 323-326.
• Gerritzen, L. 2003. Taylor expansion of noncommutative power series with an application to the Hausdorff series. J. Reine Angew. Math., 556(2003), 113-125.
• Kurlin, V. 2007. The Baker-Campbell-Hausdorff formula in the free metabelian Lie algebra. J. Lie Theory. 17(2007), 525–538.
• Drensky, V. and Fındık, Ş. 2012. Inner and Outer Automorphisms of Free Metabelian Nilpotent Lie Algebras. Commun. Alg., 40(2012), 4389-4403.
• Baker, H. F. 1901. On the exponential theorem for a simply transitive continuous group, and the calculation of the finite equations from the constants of structure. Proc. London Math. Soc., 34(1901), 91-127.
• Fındık, Ş. and Kelekci, O. 2020. Hausdorff series in a semigroup ring. Int. J. Alg. Comp., 30(2020), 853-859.
• Howie, J.M. 1995. Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press, Oxford, 351s.