NLS Yüzeyinin Spacelike Eğrisinin Pseudo Null Darboux Çatısı ile Geometrik Analizi

Year 2024, Volume: 6 Issue: 1, 188 - 198, 30.04.2024

Melek Erdoğdu , Ayşe Yavuz

https://doi.org/10.47112/neufmbd.2024.42

Abstract

Bu çalışmada, Minkowski uzayında birim hızlı spacelike eğri ile ilişkilendirilmiş dinamik bir sistem olarak ele alarak duman halkası denklemi olarak bilinen girdap filaman denkleminin araştırılması verilmiştir. Darboux çatısı kullanılarak, doğrusal olmayan Schrödinger (NLS) denklemine karşılık gelen soliton yüzeyinin diferensiyel geometrik özellikleri incelenmiştir. Bu yüzey genellikle NLS yüzeyi veya Hasimoto yüzeyi olarak adlandırılır. Ayrıca, NLS yüzeyinin Gauss ve ortalama eğrilikleri, Darboux eğrilikleri kullanılarak belirlenmiştir. Bu analiz, NLS yüzeyinin geometrik özelliklerine derinlemesine bir bakış sunarak, bu alandaki bilgiyi artırmaya ve potansiyel uygulamalara ışık tutmaya yönelik önemli bir katkı sağlayacaktır.

Keywords

Darboux çatısı, Doğrusal olmayan Schrödinger denklemi, Hasimoto yüzeyi

Geometric Analysis of the NLS Surface with the Pseodu Null Darboux Frame of Spacelike Curve

Abstract

In this study, examination of the vortex filament equation, known as the smoke ring equation, is given by considering it as a dynamic system associated with a unit speed spacelike curve in Minkowski space. Using the Darboux framework, the differential geometric features of the soliton surface that relate to the nonlinear Schrödinger (NLS) equation were investigated. This surface is often called the NLS surface or Hasimoto surface. Additionally, Gaussian and the mean curvatures of the NLS surface were determined using the Darboux curvatures. By providing an in-depth look at the geometric properties of the NLS surface, this analysis will make a significant contribution to increasing knowledge in this field and shedding light on potential applications.

Keywords

Darboux frame, Hasimoto surface, Nonlinear Schrödinger equation

References

• H. Hasimoto, A soliton on a vortex filament, Journal of Fluid Mechanics. 51(3) (1972), 477-485.
• S. Izumiya, S. Otani, Flat approximations of surfaces along curves, Demonstratio Mathematica. 48(2) (2015), 217-241.
• M. Erdoğdu, A. Yavuz, Differential geometric aspects of nonlinear Schrödinger equation. Communications Faculty of Sciences University of Ankara Series A1 Mathematics and Statistics. 70(1) (2021), 510-521.
• J. Djordjević, E. Nešović, On generalized Darboux frame of a pseudo null curve lying on a lightlike surface in Minkowski 3-Space. International Electronic Journal of Geometry. 16(1) (2023), 81-94.
• N. Gürbüz, W. Y. Dae, Hasimoto surfaces for two classes of curve evolution in Minkowski 3-space, Demonstratio Mathematica. 53(1) (2020), 277-284.
• E. S. Y. Topbaş, İ. Gök, N. Ekmekçi, Y. Yaylı, Darboux frame of a curve lying on a lightlike surface, Mathematical Sciences and Applications E-Notes. 4(2) (2016), 121–130.
• E. Hamouda, O. Moaaz, C. Cesarano, S. Askar, A. Elsharkawy, Geometry of solutions of the quasi vortex filament equation in Euclidean 3-Space E^3, Mathematics. 10(6) (2022), 891.
• W. K. Schief, C. Rogers, Binormal motion of curves of constant curvature and torsion. Generation of soliton surfaces. Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 455 (1988), 3163-3188.
• C. Rogers, W. K. Schief, Intrinsic geometry of the NLS equation and its auto‐Bäcklund transformation. Studies in Applied Mathematics. 101(3) (1998), 267-287.
• A. W. Marris, S.L. Passman, Vector fields and flows on developable surfaces, Archive for Rational Mechanics and Analysis. 32 (1969), 29-86.
• C. Rogers, J. G. Kingston, Nondissipative magneto-hydrodynamic flows with magnetic and velocity field lines orthogonal geodesics, SIAM Journal on Applied Mathematics. 26(1) (1974), 183-195.
• N. Gürbüz, Intrinsic geometry of the NLS equation and heat system in 3-dimensional Minkowski space, Advanced Studies in Theoretical Physics. 4 (2010), 557-564.
• M. Erdoğdu, M. Özdemir, Geometry of Hasimoto surfaces in Minkowski 3-space. Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 17 (2014), 169-181.
• A. Yavuz, On normal congruence of surfaces and position vector of optical fiber by electromagnetic wave vectors. Optik. 260 (2022), 168994.
• M. Erdoğdu, Electromagnetic waves along pseudo null curves in Minkowski space. Heliyon. 8(8) (2022).
• M. Uyaner, A. Yar, Nano elyaf takviyeli nanokompozit üretimi ve karakterizasyonu. Necmettin Erbakan Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi. 1(1) (2019), 10-19.
• S. Ata, M.E. Boyacıoğlu, R. Şahin, A. Kahraman, ORÇ ile düşük sıcaklıklı ısı kaynaklarından elektrik üretilmesinde ıslak ve yeni nesil akışkanların çevresel ve termodinamik performanslarının karşılaştırılması. Necmettin Erbakan Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi. 3(1) (2021), 13-23.
• B. Gökçe, O. B. Özden, Kaynaklı bağlantıya sahip karmaşık bir yapıda goldak modeli kullanılarak distorsiyonların ve kalıntı gerilmelerin nümerik analizler ile belirlenmesi. Necmettin Erbakan Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi. 5(2) (2023), 16-27.