Some Inequalities for Positive Linear Maps of Operators

Öz

Drawing inspiration from Lin [3], we generalize some operator inequalities due to Mond et al. [1] as follows: Let A be positive operator on a Hilbert space with 0<m≤A≤M. Then for 2<p<∞ and every normalized positive linear map Φ,

Φ^{p}(A²)≤((((M²+m²)^{p})/(4M^{p}m^{p})))²Φ(A)^{2p}.

Let A be positive operator on a Hilbert space with 0<m≤A≤M. Then for 1≤p<∞ and every normalized positive linear map Φ,

Φ^{p}(A⁻²)≤((1/(4(Mm)^{p}))(M+m+(((M-m)²)/(4(M+m))))^{2p})²Φ(A)^{-2p}.

Anahtar Kelimeler

• Positive Operators,Operator Inequalities,Normalized Positive Linear Maps

Operatörlerin Pozitif Lineer Dönüşümleri için Bazı Eşitsizlikler

Öz

Lin’in [3] teki çalışmasından ilham alarak, Mond ve Pecaric’in [1] deki çalışmasında verilen bazı operatör eşitsizliklerinin genelleştirilmesi şu şekilde yapıldı: A, Hilbert uzayı üzerinde 0<m≤A≤M şartını sağlayan bir pozitif operatör olmak üzere, 2<p<∞ ve her normalize edilmiş Φ pozitif lineer dönüşümü için

Φ^{p}(A²)≤((((M²+m²)^{p})/(4M^{p}m^{p})))²Φ(A)^{2p}.

eşitsizliği geçerlidir. Yine A, Hilbert uzayı üzerinde 0<m≤A≤M şartını sağlayan bir pozitif operatör olmak üzere, 1≤p<∞ ve her normalize edilmiş Φ pozitif lineer dönüşümü için

Φ^{p}(A⁻²)≤((1/(4(Mm)^{p}))(M+m+(((M-m)²)/(4(M+m))))^{2p})²Φ(A)^{-2p}

eşitsizliği geçerlidir.

Anahtar Kelimeler

• Pozitif Operatörler,Operatör Eşitsizlikleri,Normalize Edilmiş Pozitif Lineer Dönüşümler

Kaynakça

1. Mond, B., Pecaric, J. E., Converses of Jensen’s inequality for linear maps of operators, An. Univ. Vest Timis. Ser. Mat. Inform. 31(2), 223-228, 1993.
2. Fujii, M., Izumino, S., Nakamoto, R., Seo, Y., Operator inequalities related to Cauchy-Schwarz and Hölder-McCarthy inequalities, Nihonkai Math. J. 8, 117-122, 1997.
3. Lin, M., On an operator Kantorovich inequality for positive linear maps, J. Math. Anal. 402, 127-132, 2013.
4. Bhatia, R., Positive Definite Matrices, Princeton University Press, Princeton, 2007.
5. Bhatia, R., Kittaneh, F., Notes on matrix arithmetic-geometric mean inequalities, Linear Algebra Appl. 308, 203-211, 2000.
6. Ando, T., Zhan, X., Norm inequalities related to operator monotone functions, Math. Ann., 315, 771-780, 1999.