Kirişlerin Geometrik Doğrusal Olmayan Davranışlarının 3 Boyutlu Sürekli Ortam Modeli ile İncelenmesi

Öz

Bu çalışmada, yayılı yük etkisi altında konsol bir kirişin geometrik doğrusal olmayan statik davranışı incelenmiştir. Kirişlerin doğrusal olmayan davranışlarını daha gerçekçi inceleyebilmek için üç boyutlu sürekli ortam kabulü yapılmıştır. Ele alınan problem, üç boyutlu 8 düğüm noktalı toplam Lagrangian sonlu elemanlar modeli kullanılarak çözülmüştür. Kiriş malzemesi homojen, izotrop ve doğrusal-elastik olarak ele alınmıştır. Sonlu eleman ifadeleri artımsal formda doğrusallaştırılmış olarak elde edilmiştir. Bu doğrusallaştırma işlemi sonucunda eleman teğet rijitlik matrisi bulunmuştur. Daha sonra eleman teğet rijitlik matrisleri kullanılarak sistem teğet rijitlik matrisi elde edilmiştir. Son olarak ise Newton-Raphson sayısal çözüm tekniğinin kullanımı ile doğrusal olmayan eşitlikler sisteminin çözümü gerçekleştirilmiştir. Bilindiği gibi kuvvetli doğrusal olmama durumunda yükün de birkaç adımda uygulanması gerekli olabilmektedir ve bu çalışmada da yük parçalara bölünerek son adımda nihai yüke ulaşılmıştır. Bu çalışmada MATLAB programı kullanılarak bir bilgisayar programı yazılmıştır. İntegrasyon hesaplarında beş noktalı Gauss integral kuralı kullanılmıştır. Bu çalışmada, büyük yer değiştirmelerin ve büyük dönmelerin kiriş üzerindeki etkisi detaylı olarak araştırılmıştır. Kirişin geometrik olarak doğrusal ve doğrusal olmayan cevapları arasındaki farklar incelenmiştir. Ayrıca, elde edilen formülasyonların ve sayısal sonuçların doğruluğunu test edebilmek için, literatürde yayınlanmış sonuçlar ile karşılaştırılmıştır.

Anahtar Kelimeler

• Kirişler, Geometrik doğrusal olmayan analiz, Toplam Langragian sonlu elemanlar yöntemi, Üç boyutlu sürekli ortam modeli

Geometrically Non-Linear Behaviour of Beams With Three- Dimensional Continuum Model

Öz

In this paper, the geometrically non-linear static analysis of a cantilever beam subjected to a transversal uniformly distributed load is investigated. For getting more realistic investigation of nonlinear behavor of beams, three-dimensional continuum model is used. The material of the beam is assumed as homogeneous, isotropic and linear-elastic. The problem is solved by using total Lagrangian finite element model of three dimensional continua for an eight quadratic element. The considered highly nonlinear problem is solved by using incremental displacement-based finite element method in connection with Newton-Raphson iteration method. In order to use the solution procedures of Newton- Raphson type, there is need to linearized equilibrium equations, which can be achieved through the linearization of the principle of virtual work in its continuum form. As it is known, when the nonlinearity is strong, it is needed to apply the external load step by step. The necessary computer programs are developed by using MATLAB program. In the numerical integrations, five-point Gauss integration rule is used. In the study, the effect of the large deflections and rotations on the beam is investigated in detail. The difference between the geometric linear and the geometric nonlinear cases are studied. Also, in order to establish the accuracy of the present formulation and results, the obtained results are compared with the published results available in the literature.

Anahtar Kelimeler

• Beams, Geometrically Nonlinear Analysis, Total Lagrangian Finite Element Model, Three Dimensional Solid Continuum

Kaynakça

1. [1]. Al-Sadder, A. ve R.A.O., Al-Rawi, Finite difference scheme for large-deflection analysis of non prismatic cantilever beams subjected to different types of continuous and discontinuous loadings, Archive of Applied Mechanics, 75, 459-473, (2006).
2. [2]. Wang, C.M., Lam, K.Y., He, X.Q. ve Chucheepsakul S., Large deflections of an end supported beam subjected to a point load, International Journal of NonLinear Mechanics, 32,1, 63-72, (1997).
3. [3]. Kapania, R.K. ve Li J.A., Formulation and implementation of geometrically exact curved beam elements incorporating finite strains and finite rotations, Computational Mechanics, 30, 444-459, (2003).
4. [4]. Chucheepsakul, S., Buncharoen, S. ve Wang, C.M., Large deflection of beams under moment gradient, Journal of Engineering Mechanics-ASCE, 120,9,1848-1860, (1994).
5. [5]. Chucheepsakul, S., Buncharoen, S. ve Huang, T, Elastica of a simple variablearc-length beam subjected to an end moment, Journal of Engineering Mechanics-ASCE, 121,7, 767-772, (1995).
6. [6]. Li, S.R. ve Zhou, Y.H., Post-buckling of a hinged-fixed beam under uniformly distributed follower forces, Mechanics Research Communications, 32, 359 367, (2005).
7. [7]. He, X.Q., Wang, C.M. ve Lam, K.Y, Analytical bending solutions of elastica with one end held while the other end portion slides on a friction support, Archive of Applied Mechanics, 67, 543-554, (1997).
8. [8]. Bathe, K.-J. ve Bolourchi S., Large displacement analysis of three-dimensional beam structures, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 14,7, 961-986, (1979).

9. [9]. Surana, K.S., Geometrically non-linear formulation for two dimensional curved beam elements, Computers and Structures, 17,1,105-114, (1983).
10. [10]. Hsiao, K.M., Lin, J.Y. ve Lin, W.Y. A, Consistent co-rotational finite element formulation for geometrically nonlinear dynamic analysis of 3-D beams, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 169,1-2, 1-18 (1999).
11. [11]. Lin, W.Y. ve Hsiao, K.M., Co-rotational formulation for geometric nonlinear analysis of doubly symmetric thin-walled beams, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 190,45, 6023-6052, (2001).
12. [12]. Chen, H.H., Lin, W.Y. ve Hsiao, K.M., Co-rotational finite element formulation for thin-walled beams with generic open section, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 195,19-22,2334-2370, (2006).
13. [13]. Akbaş, Ş.D., Konsol bir kirişin geometrik lineer olmayan statik incelenmesi, Yüksek lisans tezi, Yıldız Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul, (2009).
14. [14]. Kocatürk, T. ve Akbaş, Ş.D., Geometrically non-linear static analysis of a simply supported beam made of hyperelastic material, Structural Engineering and Mechanics, 35 (6): 677-697, (2010).
15. [15]. Akbaş, Ş.D. ve Kocatürk, T., Hiperelastik Malzemeden Yapılmış Basit Kirişlerin Geometrik Lineer Olmayan Statik Analizi. 16. Ulusal Mekanik Kongresi, (2009).
16. [16]. Kocatürk, T., Akbaş, Ş.D. ve Şimşek, M., Large deflection static analysis of a cantilever beam subjected to a point load, International Journal of Engineering and Applied Sciences, 2,4, 1-13, (2010).
17. [17]. Akbaş, Ş.D. ve Kocatürk, T., Post-buckling analysis of a simply supported beam under uniform thermal loading, Scientific Research and Essays, 6,4,1135- 1142, (2011).
18. [18]. Martín Saravia, C., MacHado, S.P. ve Cortínez, V.H. A., Geometrically exact nonlinear finite element for composite closed section thin walled beams, Computers and Structures, 89,23-24), 2337-2351, (2011).
19. [19]. Akbaş, Ş.D. ve Kocatürk, T., Post-buckling analysis of functionally graded three dimensional beams under the influence of temperature, Journal of Thermal Stresses, 36,12, 1233- 1254, (2013). [20]. Akbaş, Ş.D., Post-Buckling Analysis of Axially Functionally Graded Three Dimensional Beams, International Journal of Applied Mechanics, 7(3), 1550047, Doi: 10.1142/S1758825115500477. (2015).
20. [21]. Akbaş, Ş.D., Geometrically nonlinear static analysis of edge cracked Timoshenko beams composed of functionally graded material, Mathematical Problems in Engineering, 2013, 2013.
21. [22]. Fertis, D.G., Nonlinear Mechanics, CRC Pres, New York, (1999).
22. [23]. Reddy, J.N., An introduction to non-linear finite element analysis, Oxford University Press In New York, (2004).