On From Solution of the Wave Equation Defined on the Finite Interval

Abstract

The wave equation is one of the partial differential equations frequently encountered in applied mathematics and physics. The wave equation is a second-order partial differential equation of the hyperbolic type. The wave equation models many natural phenomena. For example, phenomena such as gravitational waves, sound waves, light waves, and spring motion can be expressed by the wave equation.In this study, the conditions that are necessary to be solution for the wave equation in the finite interval which contains potential defined with mixed type boundary conditions in addition to two initial conditions are investigated. Instead of Fourier’s method, an integral equation similar to d'Alembert’s formula is obtained and the conditions required to solve this equation are examined and shown. In the end, the solution obtained as a result of this integral equation and the solution obtained with Fourier’s method is compared.

Keywords

• Wave equation
• d’Alembert formula
• Fourier’smethod

Sonlu Aralıkta Tanımlı Dalga Denkleminin Çözümü Üzerine

Abstract

Dalga denklemi, uygulamalı matematik ve fizik alanlarında sık karşılaşılan kısmi diferansiyel denklemlerden bir tanesidir. Dalga denklemi hiperbolik tipte ikinci mertebeden bir kısmi diferansiyel denklemdir. Dalga denklemi birçok doğa olayını modellemektedir. Örneğin yerçekimi dalgaları, ses dalgaları, ışık dalgaları ve yay hareketi gibi olaylar dalga denklemi ile ifade edilebilir. Bu çalışmada iki başlangıç koşuluna ek olarak iki adet karışık tipte sınır koşuluyla tanımlanmış potansiyel içeren dalga denkleminin sonlu aralıkta çözümün olabilmesi için gereken koşullar incelenmiştir. Fourier yöntemi yerine d’Alambert formülüne benzer bir integral denklemi elde edilip bu denklemin çözülebilmesi için gereken şartlar incelenmiş ve gösterilmiştir. Son olarak bu integral denklemi sonucu elde edilen çözüm ile Fourier yöntemiyle elde edilen çözüm karşılaştırılmıştır.

Keywords

• Dalga Denklemi
• d’Alembert Formülü
• Fourier Yöntemi

Thanks

ICAIAME 2021

References

1. [1] A. Neşe Dernek, Kısmi Türevli Denklemler ve Çözümlü Problemler, 2. baskı, Ankara, Türkiye: Nobel Yayıncılık, 2009,böl.5.
2. [2] L. C. Evans, Partial Differential Equations, vol.19, Rhode Island, USA: American Mathematical Society,2010.
3. [3] R. McOwen, Partial Diferential Equations Methodsand Applications, New Jersey: Prentice Hall,1995.
4. [4] W.A.Strauss,PartialDifferentialEquations,2nd ed., New York: John Wiley& Sons,1992.
5. [5] B. M. Levitan ve S. Sargsjan, Introduction to Spectral Theory: SelfadjointOrdinary Diferantial Operators, vol. 39, Rhode Island, USA: American Matematical Society,1975.
6. [6] D. Zwillinger, Handbook of DiferentialEquations, 3rd ed , Academik Pres, Boston,USA,1997.
7. [7] U. T. Myint, PartialDifferentialEquations of Mathematical Physics, New York,USA: AmericanElseiver Publishing Company,1973.
8. [8] C.Cattaneoand L. Fontana,’’D'Alembertformula on finiteone-dimensionalnetworks’’, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol.284, no. 2, pp. 403-424, 2003.

9. [9] P. S. Akça, ‘Basamağa göre homojen hiperbolik denklem için Cauchy Probleminin d’Alembert türlü çözümü,’ Yüksek lisans tezi, Matematik Bilgisayar, Fen Bilimleri Enstitüsü, Beykent Üniversitesi, İstanbul, Türkiye, 2017.
10. [10] R. Bonsonand G. Costa ,DifferentialEquations, Ed. H.Hilmi Hacısalihoğlu, Ankara: Nobel Yayıncılık, 2013, ss. 308.