Development of Secondary School Students’ Relational Thinking Skills with a Teaching Experiment

Abstract

Purpose: Since there are a limited number of studies on how to develop relational thinking in secondary school students in mathematics education literature, this study will contribute to the field both in theoretical terms and concerning the implications for in-class applications. In this respect, this study aims to examine how to develop the relational thinking skills of 5th-grade students. Research Methods: The participants of this study, which was adopted as a research design of the teaching experiment, were six students attending 5th grade in secondary school. The teaching process was eight sessions per week with one session. The main data source of this study was in-class teaching videos. The data were analyzed descriptively. Findings: The questions, the in-class dialogues directing relational thinking and activities in each session of the teaching experiment conducted with the fifth-grade students were presented under related themes. Implications for Research and Practice: The most general result was that at the end of the teaching process based on numbers, relationships between numbers, operations and properties, the students made use of equality axioms to evaluate the true/false and open number sentences without any calculation. It was also seen that the students made connections between addition-subtraction, addition-multiplication and multiplication-division and that they made effective use of commutative, associative and distributive properties.

Keywords

• mathematics education,relational thinking,equality,equal sign

Ortaokul Öğrencilerinin İlişkisel Düşünme Becerilerinin Bir Öğretim Deneyi Aracılığıyla Geliştirilmesi

Öz

Problem Durumu: Literatürde pek çok araştırmacının eşit işaretinin anlamı ve eşitlik kavramı üzerine yoğunlaştığı görülmektedir. Bu araştırmacılar arasında eşit işaretinin ilişkisel anlamını oluşturmada öğrencilerin eğilimlerinin işlemsel anlama yönünde olmadığı aksine bu durumun kavramlara ilişkin öğretim süreçlerinin bir yansıması olarak oluştuğu konusunda ortak bir uzlaşma söz konusudur (Stephens, Ellis, Blanton &Brizuela, 2017, s. 391). Bu ortak uzlaşı araştırmacıları, eşit işaretinin ilişkisel anlamının oluşturulmasında ve ilişkisel düşünmenin geliştirilmesinde öğretim süreçlerinin nasıl olması gerektiğine doğru yöneltmiştir. Küçük yaşlardaki öğrenciler ile gerçekleştirilen çalışmalarda, genellenmiş aritmetik yaklaşımını içeren erken cebir öğretimi aracılığıyla öğrencilerin temel işlemlerin ve değişme özelliği gibi işlem özelliklerinin farkına varmada önemli kazanımlar sağladıkları, genel olarak sayılara, işlemlere ve işlem özelliklerine ilişkin muhakemelerinde farklı düşünme yolları ürettikleri, hatta çeşitli genellemelere ulaşabildikleri belirlenmiştir (Carpenter vd., 2003; Bastable&Schifter, 2008; Blanton vd., 2015; Steinweg vd., 2018). Literatür incelendiğinde eşit işaretinin ilişkisel anlamına ve ilişkisel düşünmenin geliştirilmesine yönelik öğretim süreçlerini inceleyen araştırmaların ağırlıklı olarak okulöncesi ve ilkokul düzeyinde olduğu, ortaokul düzeyindeki öğrencilere ilişkin araştırmaların sınırlı (Napaphun, 2012) olduğu söylenebilir. Oysaki aritmetikten cebire geçişin sağlandığı ortaokul 5. sınıf düzeyi öğrencilerin düşüncelerinin geliştirilmesinde kilit bir düzey olarak ele alınabilir. Öğrencilerin ilişkisel düşünmeyi geliştirici bir öğretim süreci aracılığıyla muhakemelerinin ve düşünme yollarının ortaya çıkarılması önemlidir. Bu bağlamda bu çalışmada gerçekleştirilen öğretim sürecini incelemek amaçlanmış, öğrencilerde ilişkisel düşünmenin geliştirilmesinde işlem özelliklerinin nasıl kullanıldığı, hangi somut materyallerin ele alındığı etkinlik örnekleri ve sınıf içi tartışmalar ile detaylı olarak sunulmuştur. Araştırmanın Amacı: Bu araştırma ile ortaokul 5. sınıf öğrencilerindeki ilişkisel düşünme becerisinin nasıl geliştirilebileceğinin incelenmesi amaçlanmaktadır. Bu amaç doğrultusunda “Öğrencilerdeki ilişkisel düşünme becerisinin geliştirilmesinde sayı cümleleri ve işlem özellikleri nasıl kullanılmaktadır?” sorusuna yanıt aranmıştır. Araştırmanın Yöntemi: Öğrencilerdeki ilişkisel düşünme becerisinin geliştirilmesinin incelendiği bu araştırmanın deseni öğretim deneyidir. Araştırmanın katılımcılarını; Eskişehir ilindeki orta düzey olan bir devlet okulunun 5. sınıfında öğrenim gören 6 öğrenci oluşturmaktadır. Öğretim öncesi sınıf içi gerçekleştirilen gözlemlerde öğrencilerin eşit işaretinin farklı anlamlarını söylemekte zorlandıkları ve eşitliği bir işlemin sonucunu bulma olarak kullandıkları belirlenmiştir. Öğrencilerin aritmetik işlemleri içeren sayı cümlelerinde sayılar ve işlemler arasında bir ilişki kurmaksızın hesaplamaya dayalı düşündükleri, değişme, birleşme ve dağılma özelliklerini fark etmedikleri, özellikle bölme işleminde zorlandıkları görülmüştür. Bu bağlamda öğrencilerin ilişkisel düşünme becerilerinin gelişimini amaçlayan bir öğretim süreci planlanmıştır. Gerçekleştirilen öğretim süreci her hafta 1 oturum olacak şekilde 8 oturum/8 hafta olarak gerçekleştirilmiştir. Öğrencilerin yaş düzeyleri göz önüne alınarak oturumlar 30-40 dakika olacak şekilde planlanmış, gerek duyulduğunda oturumlara ara verilmiştir. Araştırmanın Sonuçları ve Öneriler: Bu araştırmadan elde edilen en genel sonuç sayılar, sayılar arası ilişkiler, işlemler ve işlem özelliklerine dayalı bir öğretim süreci sonunda öğrencilerin doğru/yanlış ve açık sayı cümlelerini hesaplama yapmadan eşitlik aksiyomlarından yararlanarak değerlendirebilmeleridir. Araştırmada öğrenciler öğretim süreci sonunda verilen doğru yanlış ve açık sayı cümlelerini değerlendirmede ve çözmede ilişkisel düşünmüşlerdir. Öğrencilerin toplama-çıkarma, toplama-çarpma, çarpma-bölme işlemleri arasında ilişkilendirme yapabildikleri ve değişme, birleşme ve dağılma özelliklerini etkili bir biçimde kullanabildikleri görülmüştür. Öğrencilerin eşit işaretini aritmetik işlemlerin uygulanması için bir komut gibi algılamaları ve dolayısıyla gerek ders kitaplarında gerekse ön öğretimlerinde eşit işaretinin işlemsel anlamı ile karşılaşmaları eşitlik kavramının anlaşılmasını zorlaştırmaktadır. Bu zorluğun üstesinden gelebilmede ve eşitlik kavramının kazandırılmasında kavrama ilk girişteki ve ardından toplama işlemine geçişteki öğretim süreçleri çare olabilir. Öğretimin ilk oturumunda mikado çubukları ile toplama işleminin modellenmesi ve sayı cümlelerinin t tablosunda gösterilmesi aracılığıyla öğrenciler sayı cümlelerindeki ilişkili değişimi fark etmişlerdir. Oturumda, giriş etkinliği olarak seçilen mikado çubukları etkinliğinde toplama işlemindeki doğru sayı cümlelerinden eşitliğin korunumuna geçilmesi eşitlik kavramının ilişkisel anlamının desteklenmesi için gerçekleştirilmiş planlı bir geçiştir. Öğretimin ikinci oturumunda çıkarma işlemleri birim küplerle modellenmiş, öğrencilerin tamamı eksilen, çıkan ve farkı doğru ifade etmişlerdir. Öğrencilerden etkinliğin devamında, birim küplerle kendi oluşturdukları farklı çıkarma işlemlerini modellemeleri ve bu işlemlere ait sayı cümlelerini t tablosunda göstermeleri istenmiştir. Öğrenciler t tablosunda gösterdikleri sayı cümlelerindeki çıkanı örüntüsel bir şekilde arttırdıklarında/azalttıklarında farkın da azalacağını/artacağını fark etmişlerdir. Bu düşüncenin gelişmesinde öğrencilerin oluşturdukları doğru sayı cümlelerini ikişerli olarak incelemeleri (örn. 30-1=29 ve 30-4=26) etkili olmuştur. Diğer bir ifade ile öğrenciler ikişerli ele aldıkları doğru sayı cümlelerinde çıkanların değişimi ile farkın değişimini ilişkilendirmişlerdir. Sınıf içinde özellikle doğru/yanlış sayı cümleleri ile ilgili tartışmalar öğrencilerin verilen sayı cümlelerini hesaplama yapmadan bütüncül bir bakış açısıyla analiz etmelerini desteklemiştir. Öğrenciler doğru/yanlış sayı cümlelerinde ulaştıkları eksilenler ve çıkanlar arasındaki farkın korunumuna ilişkin genellemeyi çift taraflı açık sayı cümlesine genişletmişler, hatta daha karmaşık sayı cümlelerinde ilişkisel düşünebilmişlerdir. Oturumlara öncelikle doğru/yanlış sayı cümleleri ile başlanması, bu sayı cümlelerinin değerlendirilmesinde kullanılan ilişkisel düşünme stratejileri öğrencilerin açık sayı cümlelerini hesaplama yapmadan çözmelerini kolaylaştırmıştır. Öğretimin üçüncü oturumunda toplama ve çarpma işlemleri arasındaki ilişkilendirmenin arttırılması ve çarpma işleminin anlamlandırılması için birim küpler ve oyun paraları kullanılmıştır. Öğrenciler t tablosu aracılığıyla farklı düşünme stratejileri geliştirmişler, çarpanlar arasında kat ilişkisine odaklanmışlar ve değişme özelliğini kendileri ifade etmişlerdir. Ayrıca bazı öğrenciler t tablosundaki bu sayı cümlelerinde bölünen, bölen ve bölüm arasında ilişkilendirme yapmış ve dolayısıyla çarpma ve bölme işlemleri arasında da ilişki kurmuşlardır. Tüm bu ilişkilerin fark edilmesinde ve kurulmasında t tablosunun oldukça etkisi olması araştırmada ulaşılan önemli sonuçlardandır. Oturumdaki en dikkat çekici sonuçlardan bir diğeri ise 13x10=(10x □)+∆ gibi iki bilinmeyen içeren çift taraflı bir açık sayı cümlesinde ortaya çıkmıştır. Öğrenciler, iki bilinmeyen içeren çift taraflı açık sayı cümlesinde ilişkisel düşünerek farklı sayı cümleleri oluşturmuşlardır. Bu sayı cümlelerini oluştururken öğrenciler ifade etmeseler de değişme ve dağılma özelliklerini etkili biçimde kullanmışlardır. Beşinci oturumda ele alınan değişme ve birleşme özellikleri doğru/yanlış sayı cümleleri ile fark ettirilmeye çalışılmış, öğrencilerin bu özelliklerin hangi işlemler için geçerli olduğunu belirtmeleri ile birlikte problemlere ve modellemelere geçilmiştir. Öğretim sürecinde dağılma özelliğinin keşfi için farklı renklerde kullanılan birim küpler ile kare prizmanın hacminin hesaplaması son derece etkili olmuştur. Özellikle öğrencilerin (a+b)xc=(axc)+(bxc) eşitliklerinin doğruluğunu savunmaları ve ardından açık sayı cümlelerinde birleşme ve değişme özellikleri ile birlikte dağılma özelliğini de etkili bir biçimde kullanmaları ulaşılan diğer önemli sonuçlardandır. Araştırmadan elde edilen sonuçlar ışında, uygun öğretim ortamları ve öğretmenin sınıf içi tartışmaları aracılığıyla öğrencilerin eşitlik kavramına ilişkisel bir anlam yükleyebildikleri görülmüştür. Bir öğretim tasarımı sunan bu araştırmanın sonuçlarına dayalı olarak ilişkisel düşünmeyi geliştirici öğrenme yörüngeleri geliştirilebilir ve farklı katılımcılar üzerinde test edilebilir. Hatta sınıf öğretmenlerinin eşitlik kavramına ilişkin öğretim süreçleri üzerine araştırmalar desenlenebilir.

Anahtar Kelimeler

• Matematik eğitimi,ilişkisel düşünme,eşitlik,eşit işareti

Kaynakça

1. Alibali, M. W., Knuth, E. J., Hattikudur, S., McNeil, N. M., & Stephens, A. C. (2007). A longitudinal examination of middle school students' understanding of the equal sign and equivalent equations. Mathematical Thinking and Learning, 9(3), 221-247.
2. Baek, J.-M. (2008). Developing algebraic thinking through explorations in multiplication. In C. E. Greenes & R. Rubenstein (Eds.), Algebra and Algebraic Thinking in School Mathematics: Seventieth yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM; pp. 141–154). Reston, VA: NCTM.
3. Bastable, V., & Schifter, D. (2008). Classroom stories: Examples of elementary students engaged in early algebra. In J. Kaput, D. Carraher, & M. Blanton (Eds.), Algebra in the Early Grades (pp. 165–184). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum/Taylor & Francis Group; Reston, VA: NCTM.
4. Blanton, M.L. (2008). Algebra and the elementary classroom: Transforming thinking, transforming practice. Portsmouth: Heinemann.
5. Boulton G. M., Lewis G., Cooper T. J., Atweh B., Pillay H. & Wills L. (2000). Readiness of algebra. In T. Nakahara & M. Koyama (Eds.), Proceeding of the 24th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (vol. 2, pp. 89-105). Hiroshima, Japan: International Group for the Psychology of Mathematics Education.
6. Blanton, M., Stephens, A., Knuth, E., Gardiner, A., Isler, I., & Kim, J. (2015). The development of children’s algebraic thinking: The impact of a comprehensive early algebra intervention in third grade. Journal for Research in Mathematics Education, 46(1), 39–87.
7. Byrd, C. E., McNeil, N. M., Chesney, D. L., & Matthews, P. G. (2015). A specific misconception of the equal sign acts as a barrier to children's learning of early algebra. Learning and Individual Differences, 38, 61-67.
8. Carpenter, T. P., Franke, M. L., & Levi, L. (2003). Thinking mathematically: Integrating arithmetic and algebra in the elementary school. Portsmouth, NH: Heinemann.

9. Carpenter, T. P., Levi, L., Berman, P., & Pligge, M. (2005). Developing algebraic reasoning in the elementary school. In T. A. Romberg, T. P. Carpenter, & F. Dremock (Eds.), Understanding Mathematics and Science Matters (pp. 81–98). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. Chapman, O. (2011). Elementary school teachers’ growth in inquiry-based teaching of mathematics. ZDM Mathematics Education, 43(6), 951-963.
10. Eichhorn, M.S., Perry, L.E., & Brombacher, A. (2018). Students’ early grade understanding of the equal sign and non-standard equations in Jordan and India. International Journal of Research in Education and Science, 4(2), 655-669. doi:10.21890/ijres.432520
11. Falkner, K. P., Levi, L., & Carpenter, T. P. (1999). Children's understanding of equality: A foundation for algebra. Teaching Children Mathematics, 6, 232-236.
12. Jacobs, V. R., Franke, M. L., Carpenter, T. P., Levi, L., & Battey, D. (2007). Professional development focused on children's algebraic reasoning in elementary school. Journal for Research in Mathematics Education, 38(3), 258-288.
13. Kızıltoprak, A. & Yavuzsoy Köse, N. (2017). Relational thinking: The bridge between arithmetic and algebra. International Electronic Journal of Elementary Education, 10 (1), 131-145.
14. Knuth, E. J., Stephens, A. C., McNeil, N. M., & Alibali, M. W. (2006). Does understanding the equal sign matter? Evidence from solving equations. Journal for Research in Mathematics Education, 37(4), 297-312.
15. Koehler, J.L. (2004). Learning to think relationally: Thinking relationally to learn (University of Wisconsin-Madison) Retrieved from ProQuest Dissertations and Theses. (AAT 3143187).
16. Köse, N., & Tanışlı, D. (2011). Equal sign and relational thinking in elementary mathematics textbooks. Necatibey Faculty of Education Electronic Journal of Science & Mathematics Education, 2(5), 251-277.
17. Malara, N., & Navarra, G. (2006). Approaching the distributive law with young pupils. In M. Bosch (Ed.), Proceedings of the Fourth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 363-373). Sant Feliu de Guíxols: FUNDEMI IQS –Universitat Ramon Llull.
18. Matthews, P., & Rittle-Johnson, B. (2009). In pursuit of knowledge: Comparing self-explanations, concepts, and procedures as pedagogical tools. Journal of Experimental Child Psychology, 104, 1–21. doi:10.1016/j.jecp.2008.08.004
19. Matthews, P., Rittle-Johnson, B., McEldoon, K., & Taylor, R. (2012). Measure for measure: What combining diverse measures reveals about children's understanding of the equal sign as an indicator of mathematical equality. Journal for Research in Mathematics Education, 43(3), 316-350
20. McNeil, N., & Alibali, M. (2005). Knowledge change as a function of mathematics experience: All contexts are not created equal. Journal of Cognition and Development, 6(2), 285-306. doi:10.1207/s15327647jcd0602_6
21. Molina, M., & Ambrose, R. C. (2006). Fostering relational thinking while negotiating the meaning of the equals sign. Teaching Children Mathematics, 13(2), 111-117.
22. Molina, M., & Ambrose, R. (2008). From an operational to a relational conception of the equal sign. Thirds graders’ developing algebraic thinking. Focus on Learning Problems in Mathematics, 30(1), 61-80.
23. Molina, M., Castro, E., & Mason, J. (2008). Elementary school students approaches to solving true/false number sentences. PNA. Revista de Investigación en Didáctica de la Matemática, 2(2), 75-86.
24. Molina, M., & Mason, J. (2009). Justifications-on-demand as a device to promote shifts of attention associated with relational thinking in elementary arithmetic. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 9(4), 224-242.
25. Napaphun, V. (2012). Relational thinking: Learning arithmetic in order to promote algebraic thinking. Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia, 35 (2), 84-101.
26. Rittle-Johnson, B., & Alibali, M. W. (1999). Conceptual and procedural knowledge of mathematics: Does one lead to the other? Journal of Educational Psychology, 91, 175–189. doi:10.1037/0022-0663.91.1.175
27. Rittle-Johnson, B. , Matthews, P. G., Taylor, R. S. & McEldoon, K. L. (2011). Assessing knowledge of mathematical equivalence: A construct modeling approach. Journal of Educational Psychology, 103 (1), 85-104. doi: 10.1037/a0021334
28. Sáenz-Ludlow, A. & Walgamuth, C. (1998). Third graders’ interpretations of equality and the equal symbol. Educational Studies in Mathematics, 35(2), 153-87. doi:10.1023/A:1003086304201
29. Seo, K.-H., & Ginsburg, H. P. (2003). ‘‘You’ve got to carefully read the math sentence...”: Classroom context and children’s interpretations of the equals sign. In A. J. Baroody & A. Dowker (Eds.), The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
30. Steinweg, A. S., Akinwunmi, K. & Lenz, D. (2018). Making implicit algebraic thinking explicit: Exploiting national characteristics of German approaches. In C. Kieran (Ed.), Teaching and Learning Algebraic Thinking with 5-to 12-Year-Olds (pp.283-307). ICME-13 Monographs. Cham: Springer.
31. Steffe, L. P. & Thompson, P. W. (2000). Teaching experiment methodology: Underlying principles and essential elements. In R. Lesh & A. E. Kelly (Eds.), Handbook of Research Design in Mathematics and Science Education (pp. 267-307). Hillsdale: Erlbaum.
32. Steffe, L. P. & Ulrich, C. (2014). The constructivist teaching experiment. In S. Lerman (Ed.) Encyclopedia of Mathematics Education (pp. 102-109). Springer, Berlin
33. Stephens, M. (2006). Describing and exploring the power of relational thinking. Retrieved from http://www.merga.net.au/documents/RP552006.pdf
34. Stephens, M. & Ribeiro, A. (2012). Working towards algebra: The importance of relational thinking, Revista Latinoamericana de Investigación en Mathemática Educativa, 15 (3), 373-402.
35. Stephens, A.C., Ellis, A. B., Blanton, M. & Brizuel, B. M. (2017). Algebraic thinking in the elementary and middle grades. In J. Cai (Ed.), Compendium for Research in Mathematics Education (386-420). Reston, VA: NCTM.
36. Strachota, S., Knuth, E. & Blanton, M. (2018). Cycles of generalizing activities in the classroom. In C. Kieran (Ed.), Teaching and Learning Algebraic Thinking with 5-to 12-Year-Olds (pp.351-378). ICME-13 Monographs. Cham: Springer.
37. Yaman H., Toluk Z., & Olkun S. (2003). How the elementary school students would perceive equal sign? Hacettepe University Journal of Education, 24, 142-151.