Mock-Chebyshev Polinom İnterpolasyonu

Öz

Polinom interpolasyonunda noktaların geometrik yeri önemli bir rol oynar. Bunu göstermek için, iyi bilinen Runge fenomenini örnek vermek yeterli olacaktır. Bu bağlamda, noktalarının dağılımı eşit aralıklı olmaktan epey uzak olan Chebyshev nodlarının kullanılması tavsiye edilir. Fakat, bir gözlem veya ölçüm sırasında veriler genelde eşit aralıklı olacak şekilde elde edilir. Bu eşit aralıklı verileri kullanarak polinom interpolasyonu ile bir yaklaşım elde edilmek istendiğinde hem Runge olgusundan kaçınmak hem de Chebyshev noktalarının kullanılmasına benzer şekilde iyi bir sonuç elde etmek için takip edilebilecek en iyi stratejilerden biri son zamanlarda geliştirilen mock-Chebyshev noktalarını kullanmaktır. Eşit aralıklı noktaların genişçe bir kümesinden seçilerek elde edilen bu noktalar asimptotik olarak Chebyshev noktalarının dağılımını takip eder. Ancak, bu noktaların hesaplanması için gereken işlem yükü fazladır ve bu konuda literatürde yeteri kadar çalışma yoktur. Bu çalışmada, mock-Chebyshev noktalarının elde edilmesinde düşük işlem yüküne sahip iyi bir alternatif bir yöntem sunulmaktadır. Dahası, bu yöntem mock-Chebyshev noktalarının birbirinden farklı kümelerinin elde edilmesini sağlar. Kovid-19 vakalarını tahmin etmek için bu metod ile elde edilen noktalar kullanılarak polinom interpolasyonun bir uygulaması verilmiştir.

Anahtar Kelimeler

• Polinom interpolasyonu
• Mock-Chebyshev noktaları
• Nod dağılımları

Mock-Chebyshev Polynomial Interpolation

Öz

In polynomial interpolation, the location of the interpolation points plays an important role. Suffices to consider the well-known Runge phenomenon to understand this. In this context, the general recommendation is to use the highly non-uniform Chebyshev nodes. But, during an observation or measurement, the data are generally obtained for the equispaced points. When it is aimed to obtain an approximation with polynomial interpolation using equispaced nodes, one of the best strategies has been the use of the lately developed mock-Chebyshev points in order to avoid the Runge phenomenon and to get similarly better results with the use of Chebyshev points. A disadvantage here is that the computational cost is higher and there are not many studies in the existing literature. In this study, a better alternative method is introduced for constructing a set of mock-Chebyshev interpolation points with a low computational cost. Moreover, using this method, it is also possible to obtain different configurations of mock-Chebyshev sets. Using the points obtained by the method, an application of polynomial interpolation is provided in order to estimate Covid-19 cases.

Anahtar Kelimeler

• Polynomial interpolation
• Mock-Chebyshev points
• Node distributions

Kaynakça

1. Boyd, J. P., & Xu, F. (2009). Divergence (Runge phenomenon) for least-squares polynomial approximation on an equispaced grid and Mock–Chebyshev subset interpolation. Applied Mathematics and Computation, 210(1), 158-168.
2. Davis, P.J. (1963). Interpolation and Approximation, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., New York.
3. Ibrahimoglu, B.A. (2016). Lebesgue functions and lebesgue constants in polynomial interpolation, J. Inequal. Appl. 2016 (1) 93.
4. Ibrahimoglu, B.A. (2020). A fast algorithm for computing the mock-Chebyshev nodes, J. Comput. Appl. Math. Vol.373, 112336.
5. İbrahimoğlu, B. A. (2021). Mock-Cebyshev Noktalarında Vandermonde Matrisinin Bir Uygulaması: Kovid-19 Vaka Tahmini . Avrupa Bilim ve Teknoloji Dergisi , (21) , 172-180.
6. Ibrahimoglu, B.A. (2021). A new approach for constructing mock-Chebyshev grids, Math. Meth. Appl. Sci.
7. Runge, C. (1901). Uber empirische Funktionen und die Interpolation zwischen aquidistanten Ordinaten, Z. Math. Phys., 46, 224-243.
8. Trefethen, L.N. (2000). Spectral Methods in MATLAB, SIAM, Philadelphia.

9. https://www.worldometers.info/coronavirus/country/turkey/