On the Number of Nonempty Subsets in a Given Set

Öz

Sets contain some numbers according to their properties and can help us write some series as a result of the numbers they contain. At this point, thanks to the equations arising from the mathematical series created at this point, the existence of some proofs in which generalizations can be expressed can be proved. In addition, these proofs can be tools or results in reaching new generalizations. In this direction, the aim of this study is to prove a sum sequence for the calculation of all subsets of a set other than the most empty set in which there are ordered sums of its elements except the empty set. In this direction, a different format of the summation series formed by subtracting the empty set from the number of all subsets that form the ordered sums of a set with n elements different from the empty set is obtained and the equality is proved by inductive proof method. As a result, the obtained general equality is presented as a new sum series. It is predicted that new generalizations can be reached thanks to this equality.

Anahtar Kelimeler

• Set
• sum series
• ordered sums
• subset.

Etik Beyan

There are no ethical issues regarding the publication of this study

Bir Kümede Sıralı Toplamların Bulunduğu Tüm Alt Kümelerin Toplam Dizisi ÜzerineBir Kümede Sıralı Toplamların Bulunduğu Tüm Alt Kümelerin Toplam Dizisi Üzerine

Öz

Kümeler özelliklerine göre birtakım sayıları ihtiva etmekte ve bazı serileri yazabilmemize yardımcı olabilmektedir. Bu noktada oluşturulan matematiksel serilerden doğan eşitlikler sayesinde genellemelerin ifade edilebileceği birtakım ispatların varlığı kanıtlanabilmektedir. Ayrıca bu ispatlar yeni genellemelere ulaşmada birer araç veya sonuç olabilmektedir. Bu doğrultuda çalışmanın amacı boş kümeden farklı bir kümede boş küme hariç elemanlarının sıralı toplamlarının bulunduğu tüm alt kümelerinin hesabına yönelik bir toplam dizisinin ispatını yapabilmektir. Bu doğrultuda boş kümeden farklı n elemanlı bir kümenin sıralı toplamlarını oluşturan bütün alt kümelerinin sayısından boş küme çıkartılarak oluşturulan toplam serisinin bir farklı formatı elde edilmiş ve tümevarım ispat yöntemiyle eşitlik ispatlanmıştır. Sonuç olarak elde edilen genel eşitlik yeni bir toplam serisi olarak sunulmuştur. Bu eşitlik sayesinde yeni genellemelere ulaşılabileceği öngörülmektedir.

Anahtar Kelimeler

• Küme
• toplam serisi
• sıralı toplamlar
• alt küme

Kaynakça

1. [1] Baki, A. (2014). Philosophy and history of mathematics (2nd Publication). Baki, A. (Ed.) Pegem Academy, Turkey.
2. [2] Yıldırım, C. (2011). History of science. (1nd Publication). Yıldırım, C. (Ed.) Remzi Publication, Turkey.
3. [3] Yıldırım, C. (1996). Mathematical thinking. (1nd Publication). Yıldırım, C. (Ed.) Remzi Publication, Turkey.
4. [4] Öztürk, F. (1995). Kombinatoric counting problems. (1nd Publication). Öztürk, F. (Ed.) Ankara University Faculty of Science Revolving Fund Enterprise Publications, Turkey.
5. [5] Bulut, F. (2017). Finding the Nth element of the Fibonacci sequence using Pascal's triangle, Combination and Induction. Al-Jazari Journal of Science and Engineering, 4(3), 429-435.
6. [6] Atiklik, İ., Çalık, A. C., & İnan, E. (2020). A Different Counting Method for Subsets Generalized via Fibonacci Numbers. Science Harmony, 3(2), 33-44.
7. [7] Beşer, M. (2011). The Existence of utility functions for partially ordered Hausdorff Spaces. Journal of Social Sciences, 2011(2), 108-111.
8. [8] Weber, K., & Alcock, L. (2004). Semantic and syntactic proof productions. Educational Studies in Mathematics, 56(2/3), 209-234.

9. [9] Pala, O., & Narlı, S. (2018). Prospective mathematics teachers’ proving approaches and difficulties related to equivalence of ınfinity sets. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education, 9(3), 449-475.
10. [10] Dede, Y. (2013). Proof in mathematics: Importance, types and historical development. Zembat, İ. Ö., Özmantar, M. F. Bingölbali, E. Şandır, H. & Delice A. (Eds.), In mathematical concepts with their definitions and historical development (pp. 15-34). Pegem Academy, Turkey.
11. [11] Doğan-Dunlap, H., Özdemir-Erdoğan, E., & Kılıç, Ç. (2008). Mathematical induction: Misconceptions and learning difficulties encountered. Özmantar, M. F., Bingölbali, Akkoç, E. H. (Eds.), Mathematical misconceptions and solution suggestions in (pp. 291-327). Pegem Academy, Turkey