Transforming Skew Cyclic Codes into Generalized Quasi-Cyclic Codes via a New Gray Map over Z_4+uZ_4

Yıl 2025, Cilt: 18 Sayı: 2, 570 - 579, 31.08.2025

Eda Tekin

https://doi.org/10.18185/erzifbed.1640057

https://izlik.org/JA89MP47RX

Öz

We introduce a new Gray map Q(a+ub)=(a,a+3b), along with an automorphism θ(a+ub)=a+u(3b). Using these, we construct quasi-cyclic codes as left submodules of the skew polynomial ring R[x;θ] over R=Z_4+uZ_4. Although the original codes are skew cyclic, we show that their Gray images under Q are invariant under a modified cyclic shift operator, and hence are generalized quasi-cyclic codes over Z_4. Our analysis of the Lee weight transformation, supported by examples, demonstrates that this approach yields codes with predictable structure and favorable properties.

Anahtar Kelimeler

codes , quasi-cyclic codes , Gray map

Z_4+uZ_4 Üzerinde Yeni Bir Gray Dönüşümü Kullanarak Eğik Devirli Kodların Genelleştirilmiş Yarı Devirli Kodlara Dönüştürülmesi

https://izlik.org/JA89MP47RX

Öz

Bu çalışmada yeni bir Gray dönüşümü olan Q(a+ub)=(a,a+3b) ve θ(a+ub)=a+u(3b) otomorfizması tanıtılmaktadır. Bu dönüşümler kullanılarak, R=Z_4+uZ_4 halkası üzerinde tanımlı, eğik devirli (skew cyclic) kodların, R[x;θ] çokterimli halkasında sol altmodül olarak oluşturulması sağlanarak, elde edilen kodların Gray dönüşümleri ile yarı devirli (quasi-cyclic) kodlar elde edilmiştir. Aslında orijinal kodlar eğik devirli iken, Gray görüntüleri altında, değiştirilmiş bir devirli kaydırma operatörüne karşı değişmezlik sağlanmakta; böylece Z_4 üzerinde genelleştirilmiş yarı devirli kodlar oluşmaktadır. Lee ağırlık dönüşümünün kuramsal analizi ve örnekler, önerilen yöntemin öngörülebilir yapıya ve istenen özelliklere sahip kodlar ürettiğini göstermektedir

Anahtar Kelimeler

kodlar , yarı devirli kodlar , Gray dönüşümü

Kaynakça

• [1] Boucher, D., & Ulmer, F. (2007). Coding with skew polynomial rings. Journal of Symbolic Computation, 44(12), 1644–1656.
• [2] Hammons, A. R., Jr., Kumar, P. V., Calderbank, A. R., Sloane, N. J. A., & Solé, P. (1994). The Z"-linearity of Kerdock, Preparata, Goethals, and related codes. IEEE Transactions on Information Theory, 40(2), 301–319.
• [3] Sharma, A., & Bhaintwal, M. (2018). A class of skew-cyclic codes over Z" + 𝑢Z" with derivation. Advances in Mathematics of Communications, 12(4), 723–739.
• [4] Yildiz, B., & Aydin, N. (2014). On cyclic codes over Z" + 𝑢Z" and their Z"-images. International Journal of Information and Coding Theory, 2(4), 226–237.
• [5] Yildiz, B., & Karadeniz, S. (2014). Linear codes over Z" + 𝑢Z": MacWilliams identities, projections, and formally self-dual codes. Finite Fields and Their Applications, 27, 24–40.
• [6] Yildirim, T. (2024). Linear Skew Cyclic Codes over 𝐹 𝑆. Analele Stiintifice ale Universitatii < Ovidius Constanta: Seria Matematica, 32(3).
• [7] Yildirim, T. (2024). Construction of cyclic DNA codes over Z"𝑅. Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 55(4), 1465-1476.