The Origins of the Frege - Hilbert Controversy in the Foundations of Geometry

Yıl 2024, , 70 - 97, 15.12.2024

Şeyma Nur Tan

https://doi.org/10.58634/felsefedunyasi.1542606

Öz

The correspondence between Frege and Hilbert on the grounding of geometry in the early twentieth century reveals their different ideas about the status of the axioms of geometry. Although Hilbert mentions space intuition as a ground of geometry, he treated the non-logical terms in his system as purely schematic terms and reduced logical deduction, which he considered topic-neutral, to syntactic consistency. On the other hand, Frege raised various objections to Hilbert on his foundations of geometry and metatheoretic approaches to the consistency and independence of axiomatic systems, as he found purely syntactic approaches without semantics to be insufficient. Analyzing the correspondence between the two, it will be argued that the dispute centers on two main topics: disagreement over the nature of axiomatic systems and disagreement over the methodology of consistency and independence proofs, and that at the root are different attitudes towards the relation between the object of geometry and intuition.

Anahtar Kelimeler

Geometry, intuition, axiomatization, logical deduction, consistency and independence proofs, topic-neutral

Etik Beyan

This study has been prepared by benefiting from our master's thesis titled “A Critical Assessment of the Frege-Hilbert Controversy Concerning the Status of the Axioms of Geometry”. I also declare that I have acted in accordance with the principles and rules of scientific ethics in all stages of the study, including preparation, data collection, analysis and presentation of information; that I have cited all data and information not obtained within the scope of this study and included these sources in the bibliography; that I have not made any changes to the data used, and that I have accepted all terms and conditions of the Committee on Publication Ethics (COPE) and have complied with ethical duties and responsibilities. I declare that I accept all moral and legal consequences that will arise in the event that a situation contrary to this declaration I have made regarding the study is detected at any time.

Geometrinin Temellendirilmesinde Frege – Hilbert İhtilafının Kökenleri

Öz

Frege ve Hilbert arasında yirminci yüzyılın başlarında geometrinin temellendirilmesi üzerine gerçekleşmiş olan yazışmalar, ikili arasındaki geometri aksiyomlarının statüsüne yönelik farklı fikirleri ortaya koymaktadır. Hilbert, geometriyi aksiyomatize ederken, olanak açısından bir tür uzay görüsünden bahsetse dahi, dizgesinde mantıksal-olmayan terimleri salt şematik terimler olarak ele almış ve konu-nötr olarak gördüğü mantıksal çıkarımı, sentaktik tutarlılığa indirgemiştir. Frege ise geometrinin temelleri ve aksiyomatik dizgelerin tutarlılık ve bağımsızlıklarına yönelik metateoretik yaklaşımlar söz konusu olduğunda, semantiğin sızmadığı salt sentaktik yaklaşımları yetersiz bulduğu için Hilbert’e çeşitli itirazlar yöneltmiştir. Bu çalışmada, ihtilafın aksiyomatik dizgelerin doğasına yönelik anlaşmazlık ve tutarlılık ve bağımsızlık kanıtlarının metodolojisine yönelik anlaşmazlık olarak iki ana başlıkta yoğunlaştığı ve temelde ikilinin geometrinin nesnesi ve görü arasındaki ilişkiye yönelik farklı tutumlarının bu duruma sebep olduğu iddia edilecektir.

Anahtar Kelimeler

Geometri, görü, aksiyomatizasyon, mantıksal çıkarım, tutarlılık ve bağımsızlık kanıtları, konu-nötr

Etik Beyan

Bu çalışma, “Geometri Aksiyomlarının Statüsüne İlişkin Frege – Hilbert İhtilafinin Eleştirel Bir Değerlendirmesi” adlı yüksek lisans tezimizden yararlanılarak hazırlanmıştır. Ayrıca çalışmanın hazırlık, veri toplama, analiz ve bilgilerin sunumu olmak üzere tüm aşamalarından bilimsel etik ilke ve kurallarına uygun davrandığımı; bu çalışma kapsamında elde edilmeyen tüm veri ve bilgiler için kaynak gösterdiğimi ve bu kaynaklara kaynakçada yer verdiğimi; kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı, çalışmanın Committee on Publication Ethics (COPE)' in tüm şartlarını ve koşullarını kabul ederek etik görev ve sorumluluklara riayet ettiğimi beyan ederim. Herhangi bir zamanda, çalışmayla ilgili yaptığım bu beyana aykırı bir durumun saptanması durumunda, ortaya çıkacak tüm ahlaki ve hukuki sonuçlara razı olduğumu bildiririm.

Kaynakça

• Barker, S. (2003). Matematik felsefesi (Çev. Yücel Dursun). İmge Yayınları. Blanchette, P. A. (1996). Frege and hilbert on consistency. The Journal of Philosophy, 93(7), 317-336.
• Blanchette, P. A. (2018). The Frege-Hilbert controversy. Stanford Encyclopedia of Philosophy. https://plato.stanford.edu/archives/fall2018/entries/frege-hilbert/
• Brown, J. R. (2008). Philosophy of mathematics: A contemporary introduction to the world of proofs and pictures. Routledge.
• Coffa, J. A. (1991). The semantic tradition from Kant to Carnap: To the Vienna station. Linda Wessels (Ed.), Cambridge University Press.
• Çevik, A. (2019). Matematik felsefesi ve matematiksel mantık. Nesin Yayıncılık.
• Çitil, A. A. (2012). Matematik ve metafizik: Sayı ve nesne. Alfa Basım Yayım.
• De Castro, M. F. (2018). The controversy between Frege and Hilbert. Filosofía Univ (Rev.), Costa Rica, LVII(147), 113-128.
• Eder, G. (2016). Frege’s ‘on the foundatons of geometry’ and axiomatic metatheory. Mind, 125, 5-40.
• Frege, G. (1971a). On the foundations of geometry by G. Frege – I. İçinde E.-H. W. Kluge (Çev.), On the foundations of geometry and formal theories of arithmetic (ss. 22-37). Yale University Press.
• Frege, G. (1971b). On the foundations of geometry by G. Frege – II. İçinde E.-H. W. Kluge (Çev.), On the foundations of geometry and formal theories of arithmetic (ss. 49-112). Yale University Press.
• Gözkân, H. B. (2008). Sunuş. İçinde E. Nagel & J. R. Newman (Yazarlar), Gödel Kanıtlaması (ss. xiii-xviii). Boğaziçi Üniversitesi Yayınevi.
• Güven, Ö. (2020). Hilbert, matematiğin temelleri ve görü. Felsefe Arkivi 52, 113-149. Hilbert, D. (1950). The foundations of geometry (Çev. E. J. Townsend). The Open Court Publishing Company.
• Hilbert, D. (1967). The foundations of mathematics. İçinde J. van Heijenoort (Ed.), From Frege to Gödel (ss. 464-479). Harvard University Press.
• Kant, I. (2000). Critique of pure reason (Çev. Paul Guyer & Allen W. Wood). Cambridge University Press.
• Kluge, E.-H. W. (1971a). Frege-Hilbert correspondence leading to “On the foundations of geometry”. İçinde E. -H. W. Kluge (Çev.), On the foundations of geometry and formal theories of arithmetic (ss. 6-21). Yale University Press.
• Kluge, E.-H. W. (1971b). Introduction. İçinde E.-H. W. Kluge (Çev.), On the foundations of geometry and formal theories of arithmetic (ss. xi-xlii). Yale University Press.
• Koç, Y. (t.y.). Matematiğin ontolojisi bakımından Kant ile Frege karşılaştırması. Felsefe Ar. F., 4, 49-54.
• Korselt, A. (1971). On the foundations of geometry. İçinde E.-H. W. Kluge (Çev.), On the foundations of geometry and formal theories of arithmetic (ss. 38-48). Yale University Press.
• Mancosu, P. (1998). Hilbert and Bernays on metamathematics. İçinde From Brouwer to Hilbert (ss. 149-188). Oxford University Press.
• Nagel, E. & Newman, J. R. (2008). Gödel kanıtlaması (Çev. Bülent Gözkân). Boğaziçi Üniversitesi Yayınevi.
• Poincare, H. (1964). Bilim ve hipotez (Çev. Fethi Yücel). M.E.B.
• Shipley, J. (2015). Frege on the foundation of geometry in intuition. Journal for the History of Analytical Philosophy, 3(6), 1-23.
• Sterrett, S. G. (1994). Frege and Hilbert on the foundations of geometry. Dept. of Philosophy Graduate Student Colloquium. University of Pittsburgh.
• Zach, R. (2019). Hilbert’s program. Stanford Encyclopedia of Philosophy. https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries/hilbert-program
• Zach, R. (t.y.). Hilbert’s program then and now. (Revised and expanded version of the entry at Stanford Encyclopedia of Philosophy [Zach, 2003a]). (Y.y.): (T.y.).