Zaman gecikmeli sistemler için Padé yaklaşımı ve kesirli dereceli PI kontrolör için yeni bir tasarım metodu

Öz

Kesirli dereceli PI kontrolörler, günden güne getirdiği kolaylıklar sayesinde birçok makalenin araştırma konusu olmuştur. Bu tür bir kontrolör tam sayı dereceli PI ile karşılaştırıldığında çok daha faydalı sonuçlar sunar. Fakat işlemleri daha karmaşık bir hale getirir. Bu çalışmada kararlılık sınır eğrisi metodu kullanılarak geliştirilmiş olan dışbükey kararlılık bölgesinin ağırlık merkezine dayalı basit bir kesirli dereceli PI kontrolör tasarım yöntemi önerilmiştir. Bunun için önce kesirli dereceli PI kontrolörün parametre düzleminde tüm kararlı kontrolörleri sağlayan kararlılık bölgesi elde edilir. Daha sonra bu kararlılık bölgesinin köşe ve tepe noktaları belirlenerek dışbükey kararlılık bölgesi elde edilir. Son olarak elde edilen dışbükey kararlılık bölgesinin ağırlık merkezi bulunarak kontrolör parametreleri hesaplanır. Kullanılan yöntem, kontrolör parametrelerinin karmaşık grafiksel yöntemler kullanılmadan hesaplanması, kapalı döngü sisteminin kararlılığını sağlaması ve hesaplama yükünü oldukça azaltması bakımından önemli avantajlar sağlamaktadır. Ayrıca, bu çalışmada kararlılık bölgesinin elde edilmesinde kullanılan denklemler için literatürdeki çalışmalardan farklı olarak zaman gecikmesi terimi yerine Padé yaklaşımlarının kullanılması tercih edilmiştir. Özellikle ikinci dereceden Padé yaklaşımı kullanılarak elde edilen sonuçların neredeyse orijinal sistemle birebir örtüştüğü görülmektedir. Önerilen yöntemin etkinliğini ve basitliğini göstermek için bazı sayısal örnekler verilmiştir.

Anahtar Kelimeler

• Kesirli dereceli PI kontrolör
• Zaman gecikmesi
• Kararlılık
• Ayarlama
• Pade yaklaşımı

Padé approximation for time delay systems and a new design method for the fractional-order PI controller

Öz

Fractional-order PI controllers have been the research topic of many articles thanks to the convenience they bring day by day. This type of controller offers much more useful results compared to integer-order PI. But it makes mathematical operations more complicated. In this study, a simple fractional-order PI controller design method based on the centroid of the convex stability region, which was developed using the stability boundary locus method, is proposed. For this, first, the stability region, which provides all stable controllers, is obtained in the parameter plane of the fractional-order PI controller. Then, by determining the corner and cusp points of this stability region, the convex stability region is obtained. Finally, the centroid of the obtained convex stability region is found, and the controller parameters are calculated. The method used provides significant advantages in terms of calculating the controller parameters without using complex graphical methods, ensuring the stability of the closed-loop system and reducing the computational load considerably. In addition, for the equations used in obtaining the stability region in this study, unlike the studies in the literature, Padé approximations are preferred instead of the time delay term. Especially, it is seen that the results obtained using the second-order Padé approximation almost exactly match the original system. Some numerical examples are given to demonstrate the effectiveness and simplicity of the proposed method.

Anahtar Kelimeler

• Fractional-order PI controller
• Time delay
• Stability
• Tuning
• Pade approximation

Kaynakça

1. J. Chiasson and J. J. Loiseau, Applications of Time Delay Systems. 2007.
2. B. Şenol, U. Demiroǧlu, and R. Matušů, “Analytical approach on the design of fractional order proportional-integral controller for second order plus time delay models,” J. Fac. Eng. Archit. Gazi Univ., vol. 37, no. 1, pp. 121–136, 2022.
3. Y. Wei, Y. Hu, Y. Dai, and Y. Wang, “A Generalized Padé Approximation of Time Delay Operator,” Int. J. Control. Autom. Syst., vol. 14, no. 1, pp. 181–187, 2016.
4. T. T. Hartley, C. F. Lorenzo, and H. K. Qammer, “Chaos in a Fractional Order Chua’s System,” IEEE Trans. Circuits Syst. Fundam. Theory Appl., vol. 42, no. 8, pp. 485–490, 1995.
5. I. Podlubny, “Fractional-Order Systems and PIλDμ-Controllers,” IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 44, pp. 208–214, 1999.
6. E. Zambrano-Serrano, J. M. Muñoz-Pacheco, and E. Campos-Cantón, “Chaos generation in fractional-order switched systems and its digital implementation,” AEU - Int. J. Electron. Commun., vol. 79, pp. 43–52, 2017.
7. K. Rajagopal, N. Hasanzadeh, F. Parastesh, I. I. Hamarash, S. Jafari, and I. Hussain, “A fractional-order model for the novel coronavirus (COVID-19) outbreak,” Nonlinear Dyn., vol. 101, no. 1, pp. 711–718, 2020.
8. S. Ahmad, A. Ullah, Q. M. Al-Mdallal, H. Khan, K. Shah, and A. Khan, “Fractional order mathematical modeling of COVID-19 transmission,” Chaos, Solitons and Fractals, vol. 139, p. 110256, 2020.

9. A. Boukhouima, K. Hattaf, E. M. Lotfi, M. Mahrouf, D. F. M. Torres, and N. Yousfi, “Lyapunov functions for fractional-order systems in biology: Methods and applications,” Chaos, Solitons and Fractals, vol. 140, p. 110224, 2020.
10. L. C. Cardoso, F. L. P. Dos Santos, and R. F. Camargo, “Analysis of fractional-order models for hepatitis B,” Comput. Appl. Math., vol. 37, no. 4, pp. 4570–4586, 2018.
11. M. Farman, A. Akgül, A. Ahmad, and S. Imtiaz, “Analysis and dynamical behavior of fractional-order cancer model with vaccine strategy,” Math. Methods Appl. Sci., vol. 43, no. 7, pp. 4871–4882, 2020.
12. C. Onat, M. Şahin, and Y. Yaman, “Fractional controller design for suppressing smart beam vibrations,” Aircr. Eng. Aerosp. Technol., vol. 84, no. 4, pp. 203–212, 2012.
13. C. Onat, M. Şahin, and Y. Yaman, “Piezoelektrik Yamalara Sahip Akıllı Bir Kirişin Titreşimlerinin Kesir Dereceli Bir Denetçi Yardımıyla Aktif Denetimi,” Mühendis ve Makina, vol. 52, no. 613, pp. 52–58, 2011.
14. A. H. Bukhari, M. A. Z. Raja, M. Sulaiman, S. Islam, M. Shoaib, and P. Kumam, “Fractional Neuro-Sequential ARFIMA-LSTM for Financial Market Forecasting,” IEEE Access, vol. 8, pp. 71326–71338, 2020.
15. O. I. Tacha, J. M. Munoz-Pacheco, E. Zambrano-Serrano, I. N. Stouboulos, and V.-T. Pham, “Determining the chaotic behavior in a fractional-order finance system with negative parameters,” Nonlinear Dyn., vol. 94, no. 2, pp. 1303–1317, 2018.
16. C. Onat, “A new design method for PI–PD control of unstable processes with dead time,” ISA Trans., vol. 84, pp. 69–81, 2018.
17. C. Onat, S. E. Hamamci, and S. Obuz, “A Practical PI Tuning Approach For Time Delay Systems,” IFAC Proc. Vol., vol. 45, no. 14, pp. 102–107, 2012.
18. C. Onat, “A New Concept on PI Design for Time Delay Systems: Weighted Geometrical Center,” Int. J. Innov. Comput. Inf. Control, vol. 9, no. 4, pp. 1539–1556, 2013.
19. C. Onat, “WGC based robust and gain scheduling PI controller design for condensing boilers,” Adv. Mech. Eng., vol. 2014, 2014.
20. M. M. Ozyetkin, C. Onat, and N. Tan, “PID Tuning Method for Integrating Processes Having Time Delay and Inverse Response,” IFAC-PapersOnLine, vol. 51, no. 4, pp. 274–279, 2018.
21. M. M. Özyetkin, C. Onat, and N. Tan, “Zaman Gecikmeli Sistemler için PIλ Denetçi Tasarımı,” 2012.
22. M. M. Ozyetkin and N. Tan, “Practical Tuning Algorithm of PDµ Controller for Processes with Time Delay,” IFAC-PapersOnLine, vol. 50, no. 1, pp. 9230–9235, 2017.
23. M. M. Ozyetkin, “A simple tuning method of fractional order PIλ-PDμ controllers for time delay systems,” ISA Trans., vol. 74, pp. 77–87, 2018.
24. M. M. Ozyetkin, C. Onat, and N. Tan, “PI-PD controller design for time delay systems via the weighted geometrical center method,” Asian J. Control, vol. 22, no. 5, pp. 1811–1826, 2020.
25. M. M. Ozyetkin, K. Bekiroglu, and S. Srinivasan, “A Parameter Tuning Method for Fractional Order PD Controllers,” 2020.
26. N. Tan, I. Kaya, C. Yeroglu, and D. P. Atherton, “Computation of stabilizing PI and PID controllers using the stability boundary locus,” Energy Convers. Manag., vol. 47, no. 18, pp. 3045–3058, 2006.
27. N. Tan, “Computation of stabilizing PI and PID controllers for processes with time delay,” ISA Trans., vol. 44, pp. 213–223, 2005.
28. D. Astekin and M. M. Özyetkin, “Sürekli Kesir Açılımı Yöntemi Üzerine Genişletilmiş Bir Çalışma,” in TOK 2021 Otomatik Kontrol Ulusal Kongresi, 2021, pp. 58–62.