A data-adaptive network design using the mean shift algorithm for regional gravity field modeling with spherical radial basis functions

Öz

This study presents a new methodology to construct a data-adaptive network design for regional gravity field modeling via spherical radial basis functions (SRBFs). The proposed methodology uses mean shift clustering algorithm to determine the number and the horizontal positions of the centers of SRBFs. Although the main purpose of the unsupervised classification mean shift algorithm is to classify the data into different classes by considering their similarities, it is realized that the cluster centers are distributed adaptively to the data when clustering is done by considering the distance relations in the spatial domain. This feature provides a big advantage in the construction of the network. After establishment of the network, the proper depth for each SRBF is determined by the generalized cross-validation technique. In depth determination, the processing load was reduced by using only the observations that fall within the influence area of the selected SRBF center. The upper and lower depth limit is determined with the help of empirical signal covariance function and window size which is the parameter of the mean shift algorithm. Lastly, the long wavelength errors, which occur due to the always positivity of the selected Legendre coefficient in the spatial domain, are reduced by using the turning point algorithm. To test the performance of the proposed methodology and to investigate the effect of window size on the final network, the simulation data set in the Colorado regions is employed. The numerical tests show that the effect of the window size on the final network design is crucial. Even though no theoretical approach can be provided for the selection of the proper value of the window size, the proposed methodology requires only one parameter to construct an optimal network. In conclusion, the mean shift algorithm is a very effective method in the network design.

Anahtar Kelimeler

• Regional gravity field modeling
• Data-adaptive network design
• Geoid
• Mean shift clustering

Ortalama kaydırma algoritması kullanarak küresel radyal tabanlı fonksiyonlar ile bölgesel gravite modellemeleri için veri uyarlamalı ağ tasarımı

Öz

Bu çalışma küresel radyal temel fonksiyonlar (KRTF) ile bölgesel gravite modellemelerinde veri uyarlamalı ağ tasarımı için yeni bir metodoloji sunmaktadır. Önerilen yöntem KRTF merkezlerinin sayısı ve yatay düzlemdeki konumunu belirlemek için ortalama kaydırma algoritması kullanır. Gözetimsiz bir sınıflandırma yöntemi olan ortalama kaydırma algoritmasının temel amacı verilerin benzerlikleri gözetilerek farklı sınıflara ayrılması olsa bile, kümeleme verilerin mekânsal uzaydaki mesafe ilişkileri gözetilerek tamamlandığında oluşan küme merkezlerinin veriye uyarlı dağılımda olduğu görülmektedir. Bu özellik ağ kurulumunda büyük bir avantaj sağlar. Ağ kurulumunun tamamlanmasından sonra, her bir KRTF için uygun derinlik genelleştirilmiş çapraz doğrulama ile belirlenmiştir. Derinlik belirlemede sadece seçili KRTF merkezinin etki alanı içinde kalan gözlemler kullanılarak işlem yükü hafifletilmiştir. Alt ve üst derinlik sınırları ampirik sinyal kovaryans fonksiyonu ve ortalama kaydırma algoritmasının parametresi olan pencere boyutu yardımıyla belirlenmiştir. Son olarak seçilen Legendre katsayısının mekânsal uzayda devamlı pozitif olmasından kaynaklanan uzun dalga boylu hataları azaltmak için dönme noktası algoritması kullanılmıştır. Önerilen yöntemin performansının belirlenmesi ve pencere boyutunun ağ üzerine etkisinin belirlenmesi için Colorado alanında simüle edilen gravite bozukluğu verileri kullanılmıştır. Sayısal testlerde uygun pencere boyutunun ağ kurulumu üzerine büyük ektisi olduğu görülmüştür. Uygun pencere boyutunun seçiminde teorik bir yaklaşım sağlanamamasına rağmen, önerilen yöntem ideal ağ kurulumu için sadece bir parametreye ihtiyaç duymaktadır. Sonuç olarak ortalama kaydırma algoritmasının ağ kurulumunda oldukça etkili bir yöntem olduğu belirlenmiştir.

Anahtar Kelimeler

• Bölgesel gravite modelleme
• Veri uyarlamalı ağ tasarımı
• Geoit
• Ortalama kaydırma kümeleme

Kaynakça

1. Barthelmes, F. (1986). Untersuchungen zur Approximation des äußeren Gravitationsfeldes der Erde durch Punktmassen mit optimierten Positionen. [Dissertion, Veröffentlichungen des Zentralinstituts für Physik der Erde 92 Zentralinstitut für Physik der Erde. Potsdam: Akademie der Wissenschaften der DDR]. In Zentralinstituts Physik der Erde.
2. Bentel, K., Schmidt, M., & Gerlach, C. (2013). Different radial basis functions and their applicability for regional gravity field representation on the sphere. GEM - International Journal on Geomathematics, 4(1), 67–96.
3. Foroughi, I., & Tenzer, R. (2014). Assessment of the direct inversion scheme for the quasigeoid modeling based on applying the Levenberg-Marquardt algorithm. Applied Geomatics, 6(3), 171–180.
4. Freeden, W., & Schreiner, M. (2009). Spherical Functions of Mathematical Geosciences. Springer Berlin Heidelberg.
5. Fukunaga, K., & Hostetler, L. (1975). The estimation of the gradient of a density function, with applications in pattern recognition. IEEE Transactions on Information Theory, 21(1), 32–40.
6. Golub, G. H., Heath, M., & Wahba, G. (1979). Generalized Cross-Validation as a Method for Choosing a Good Ridge Parameter. Technometrics, 21(2), 215.
7. Klees, R., Slobbe, D. C., & Farahani, H. H. (2018). How to deal with the high condition number of the noise covariance matrix of gravity field functionals synthesised from a satellite-only global gravity field model? Journal of Geodesy, 1–16.
8. Klees, R., Tenzer, R., Prutkin, I., & Wittwer, T. (2008). A data-driven approach to local gravity field modelling using spherical radial basis functions. Journal of Geodesy, 82(8), 457–471.

9. Klees, R., & Wittwer, T. (2007). A data-adaptive design of a spherical basis function network for gravity field modelling. International Association of Geodesy Symposia, 130, 322–328.
10. Koch, K. R., & Kusche, J. (2002). Regularization of geopotential determination from satellite data by variance components. Journal of Geodesy, 76(5), 259–268.
11. Kusche, J. (2003). A Monte-Carlo technique for weight estimation in satellite geodesy. Journal of Geodesy, 76(11–12), 641–652.
12. Lin, M., Denker, H., & Müller, J. (2019). A comparison of fixed- and free-positioned point mass methods for regional gravity field modeling. Journal of Geodynamics, 125, 32–47.
13. Mahbuby, H., Amerian, Y., Nikoofard, A., & Eshagh, M. (2021). Application of the nonlinear optimisation in regional gravity field modelling using spherical radial base functions. Studia Geophysica et Geodaetica, 65.
14. Marchenko, A. N. (1998). Parameterization of the Earth’s gravity field: point and line singularities. Lviv Astronomical and Geodetical Society.
15. Moritz, H. (1980). Advanced physical geodesy. Advances in Planetary Geology.
16. Tenzer, R., & Klees, R. (2008). The choice of the spherical radial basis functions in local gravity field modeling. Studia Geophysica et Geodaetica, 52(3), 287–304.
17. Ulug, R., & Karslıoglu, M. O. (2022a). A new data-adaptive network design methodology based on the k-means clustering and modified ISODATA algorithm for regional gravity field modeling via spherical radial basis functions. Journal of Geodesy, 96(11), 91.
18. Ulug, R., & Karslıoglu, M. O. (2022b). SRBF_Soft: a Python-based open-source software for regional gravity field modeling using spherical radial basis functions based on the data-adaptive network design methodology. Earth Science Informatics, 15(2), 1341–1353.
19. Wang, Y. M., Sánchez, L., Ågren, J., Huang, J., Forsberg, R., Abd-Elmotaal, H. A., Ahlgren, K., Barzaghi, R., Bašić, T., Carrion, D., Claessens, S., Erol, B., Erol, S., Filmer, M., Grigoriadis, V. N., Isik, M. S., Jiang, T., Koç, Ö., Krcmaric, J., Li, X., Liu Q., Matsuo K., Natsiopoulos, D. A., Novák, P., Pail, R., Pitoňák, M., Schmidt, M., Varga, M., Vergos, G. S., Véronneau, M., Willberg, M., & Zingerle, P. (2021). Colorado geoid computation experiment: overview and summary. Journal of Geodesy, 95(12), 127.
20. Zhang, F., Liu, H., & Wen, H. (2024). A data-adaptive network design for the regional gravity field modelling using spherical radial basis functions. Geodesy and Geodynamics, April, 1–8.
21. Zingerle, P., Pail, R., Gruber, T., & Oikonomidou, X. (2020). The combined global gravity field model XGM2019e. Journal of Geodesy, 94(7), 66.