Convergence of S-Iteration Method for Continuous Functions on An Arbitrary Interval

Year 2018, , 201 - 213, 30.06.2018

İbrahim Karahan

https://doi.org/10.21597/jist.428379

Abstract

In this paper, we consider S-iteration to find fixed points of continuous mappings on an arbitrary

interval. We give some necessary and sufficient conditions for the convergence of this iteration. Also, we proved

that the rate of convergence of S-iteration is better than some other iterations for continuous and nondecreasing

mappings. It is also noted that the method of proof of Lemma 3 using S-iteration is slightly different from that using

the iteration schemes like Mann.

Keywords

Computational cost, continuous function, convergence theorems, fixed point, rate of convergence

Keyfi Aralıkta Sürekli Fonksiyonlar İçin S-İterasyon Metodunun Yakınsaklığı

Abstract

Bu makalede keyfi bir aralıkta tanımlanan sürekli fonksiyonların sabit noktalarını bulmak için S-iterasyonu

ele alınmıştır. Bu iterasyonun yakınsaması için gerek ve yeter şartlar verilmiştir. Ayrıca sürekli ve azalmayan

dönüşümler için S-iterasyonunun diğer bazı itersayonlardan daha hızlı yakınsadığı ispatlanmıştır. S iterasyonu

için verilen Lemma 3 ün ispat yönteminin Mann gibi diğer iterasyonlar için verilen ispat yöntemlerinden farklı

olduğuna dikkat edilmelidir.

Keywords

Hesaplama maliyeti, sabit nokta, sürekli fonksiyon, yakınsaklık teoremleri, yakınsama oranı

References

• Agarwal RP, O’Regan D, Sahu DR, 2007. Iterative construction of fixed points of nearly asymptotically nonexpansive mappings. J. Nonlinear Convex. Anal., 8(1): 61–79.
• Mann WR, 1953. Mean value methods in iteration. Proc. Amer. Math. Soc., 4: 506–510.
• Ishikawa S, 1974. Fixed points by a new iteration method. Proc. Amer. Math. Soc., 44: 147-150.
• Rhoades BE, 1974. Fixed point iterations using in finite matrices. Trans. Amer. Math. Soc., 196: 161-176.
• Borwein D, Borwein J, 1991. Fixed point iterations for real functions. J. Math. Anal. Appl., 157(1): 112-126.
• Qing Y, Qihou L, 2006. The necessary and sufficient condition for the convergence of Ishikawa iteration on an arbitrary interval. J. Math. Anal. Appl., 323 (2): 1383-1386.
• Rhoades BE, 1976. Comments on two fixed point iteration methods. J. Math. Anal. Appl., 56: 741–750.
• Phuengrattana W, Suantai S, 2011. On the rate of convergence of Mann, Ishikawa, Noor and SP-iterations for continuous functions on an arbitrary interval. J. Comput. Appl. Math., 235: 3006-3014
• Noor MA, 2000. New approximation schemes for general variational inequalities. J. Math. Anal. Appl., 251:217–229.
• Dong QL, He S, Liu X, 2013. Rate of convergence of Mann, Ishikawa and Noor iterations for continuous functions on an arbitrary interval. J. Ineq. Appl., 2013.1: doi: 10.1186/1029-242X-2013-269.
• Khan SH, 2013. A Picard-Mann hybrid iterative process. Fixed Point Theory and Appl., doi:10.1186/1687-1812-2013-69.
• Sahu DR, 2011. Applications of S iteration process to constrained minimization problems and split feasibility problems. Fixed Point Theory, 12(1): 187-204.
• Karahan I, Ozdemir M, 2013. Fixed point problems of Picard-Mann hybrid iterative process for continuous functions on an arbitrary interval. Fixed Point Theory and Appl., 2013:244, doi: 10.1186/1687-1812-2013-244.