Heterogenity of Covariance Matrices Effect on Type-I Error in Hotelling- T² Test: A Simulation Study

Yıl 2002, Cilt: 1 Sayı: 3, 1 - 12, 16.12.2002

E. Arzu Kanık Handan Çamdeviren Fikret Gürbüz

Öz

In this study robustness of The Hotelling's T² was investigated via simulation study under the assumption violation of homogeneity of covariance matrices, in the case of unequal sample size. It is known that the rate of actual type I error has been affected by this condition. This effect may vary by sample size, the number of dependent variables and covariance matrices structure. To show this changes, 5985 different combinations were simulated and each combination was executed 10000 times. Subsequently each actual type I error rate obtained from that combination was computed.

Conclusively, the effect of heterogeneity of covariance matrices on Type I error rate was not important until the number of dependent variable reaches five. However, a serious problem can occur if the covariance matrices is heterogene, the number of dependent variables more than five and sample size unequal. The bigger the sample size in a group which has strong correlation structure, the bigger type I error rate is. The bigger sample size in a group which has weak correlation structure, however, the smaller type I error rate is. Increase in the number of dependent variable stimulated variation of the actual type I error rate.

The computed 5985 actual type I errors are summarized in several tables. Kanık has developed a coefficient called K. The corelation coefficient between actual type I errors and K is high, and the determination coefficient, R² is 88%.

Anahtar Kelimeler

Covariance matrices, Heterogenity, Type-I Error, Simulation, Hotelling-T² test

Hotelling T² Testinde Kovaryans Matrislerinin Heterojenliğinin I. Tip Hata Üzerine Etkisi: Bir Simülasyon Çalışması

Öz

Bu çalışmada, Hotelling T² testinde kovaryans matrislerinin homojenliği ön şartının yerine gelmemesi durumunda I. Tip hatadaki değişmelerin araştırılması hedeflenmiştir. Bu amaçla, Hotelling T2 ile yapılan hipotez testlerinde kovaryans matrislerinin hetorojenliğinin I. Tip hatayı ne kadar etkilediği simülasyon denemeleriyle saptanmaya çalışılmıştır. Simülasyon çalışmalarında standardize edilmiş p değişkenli normal dağılımdan örnekler çekilmiştir. Farklı örnek genişlikleri, farklı değişken sayıları ve popülasyon kovaryans matrislerinin farklı hetorojenlik durumları için toplam 5985 kombinasyon simule edilmiş ve her kombinasyon 10000 kere denenmiştir. Bu kombinasyonlardan elde edilen 5985 I. Tip hatada gözlenen değişim kombinasyonlara göre ayrı ayrı incelenmiştir.

Sonuç olarak kovaryans matrislerinin hetorojenliğinin tüm seviyeleri değişken sayı 5’e kadar sadece gruplarda gözlem sayısının eşit olmadığı durumlarda I. Tip hatayı etkilemektedir. Gruplarda gözlem sayılarının yaklaşık eşit ( n1/n2<=1.5) olduğu durumlarda ise kovaryans matrislerinin heterojenliğinin I. Tip hataya olan etkisi %5 ± %2 sınırında kalmaktadır. Değişkenler arasındaki korelasyonun yüksek olduğu grupta örnek genişliğinin diğer gruba göre artması I. Tip hatayı artırmakta, korelasyonun düşük olduğu grupta, örnek genişliğinin artması I. Tip hatayı azaltmaktadır. Değişken sayısının 5’ten fazla olması ise bu istenmeyen durumların ortaya çıkmasını hızlandırmaktadır.

Hipotez testleri sonunda gerçekleşen I. Tip hataların önceden tahmin edilebilmesi amacıyla Kanık tarafından K adı verilen özgün bir katsayı geliştirilmiştir. Hipotez testleri sonucunda gerçekleşen I. Tip hatalar ile K katsayısı arasında oldukça yüksek korelasyon saptanmış ve gerçekleşen I. Tip hataların %90’a (R2=%88) yakın bir determinasyon katsayısıyla önceden tahmin edilebileceği bir regresyon denklemi geliştirilmiştir.

Anahtar Kelimeler

Kovaryans Matrisi, Hotelling T² Testi, Heterojenlik, I. Tip Hata, Simülasyon

Kaynakça

• CHRISTENSEN, W.F. and RENCHER, A.C. (1997), “A Comparison of Type I Error and Power Levels for Seven Solution to the Multivarıate Behrens-Fisher Problem”, Comm. Statist. Simula., 26(4), 1251-1273.
• HAKSTIAN, A.R., ROED, J.C., LIND, J.C. (1979), “Two-Sample T² Procedures and the Assumption of Homogenous Covariance Matrices”, Psychological Bulletin, 86(6), 1255-1263.
• HAWKINS, D.M. (1981), “A New Test for Multivariate Normality and Homoscedasticity”, Techonometrics, 23(1), 105-110.
• KANIK, E.A. (1999), “Çok Değişkenli Varyans Analizinde Kovaryans Matrislerinin Homojenliği Ön Şartı”, A.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Doktora Tezi, Ankara.
• PARK, K.S., MILLER, K.W. (1988), “Random Number Generators: Good Ones Are Hard to Find”, Computing Practices, 31(10); 1192-1201.
• STEVENS, J. (1986). “Applied Multivariate Statistics for the Social Sciences”, Lowrance Erlbaum Associates, Inc., 515s., London.
• TEKİNDAL B., (1998), Varyans Analizi Tekniğinin Önşartları ve Transformasyonlar. A.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü. Doktora Tezi, Ankara.