A NEW IDENTITY FOR THE PARTITIONS

Yıl 2008, Cilt: 16 Sayı: 2, 581 - 588, 01.10.2008

Göksal Bilgici

Öz

After Dyson found a combinatorial method “rank” for the congruences given by Ramanujan, Atkin and Swinnerton – Dyer wrote the partition function Õ - - 1 1 r q as 4-th, 6-th and 10-th degree polynomials in q to calculate the partition properties in terms of rank and the congruences properties modulo 5, 7, 11 and they used a relation between the power series in y m y = q to simplify the coefficients of these polynomials. In this paper, we generalize this relation given by Atkin and Swinnerton – Dyer and we give some new results which are useful when the partition function is written 12-th and 16-th degree polynomials in q in a simpler form.

Anahtar Kelimeler

Partitions, Partition Function, Theta Functions

AYRIŞIMLAR İÇİN YENİ BİR ÖZDEŞLİK

Öz

Dyson, Ramanujan kongruansları için “rank” adını verdiği bir sayma metodu geliştirdikten sonra, Atkin ve Swinnerton – Dyer, ayrışımların rank’a göre özelliklerini ve modulo 5, 7, 11’e göre kongruans özelliklerini hesaplamak için Õ - - 1 1 r q ayrışım fonksiyonunu q’nun 4., 6. ve 10. dereceden bir polinomu olarak yazmışlar ve bu polinomların katsayılarını sadeleştirmek için y’deki m y = q kuvvet serileri arasındaki bir ilişkiyi kullanmışlardır. Bu çalışmada Atkin ve Swinnerton – Dyer’ın verdiği bu ilişki genelleştirilerek, ayrışım fonksiyonu 12. ve 16. dereceden bir polinom olarak sade bir halde yazmak için çok kullanışlı olan yeni sonuçlar verilmiştir.

Anahtar Kelimeler

Ayrışımlar, Ayrışım Fonksiyonu, Teta Fonksiyonları

Kaynakça

• 1. Andrews, G.E., Garvan, F.G., Dyson’s Crank of a Partition, Bulletin of the American Mathematical Society, 167 – 171, 1988.
• 2. Atkin, A.O.L., Swinnerton – Dyer, H.P.F., Some Properties of Partitions, Proceedings of the London Mathematical Society, 4, 84 – 106, 1954.
• 3. Chandrasekharan, K., Eliptic Functions, Springer – Verlag, New York, 1985.
• 4. Dyson, F.J., Some Guesses in Theory of Partitions, Eureka, Cambridge, 8, 10 – 15,1944.
• 5. Hirschhorn, M.D., A Generalisation of Winquist’s Identity and a Conjecture of Ramanujan, J. Indian Math. Soc., 51, 49 – 55, 1987.
• 6. Ramanujan, S., Some Properties of p(n), the Number of partitions of n, Paper 25 of Collected Papers of S. Ramanujan, Cambridge University Pres, London, 1927.
• 7. Whittaker, E.T., Watson, G.N., A Course in Modern Analysis, 4th ed., Cambridge, England, 1990.
• 8. Winquist, L. An Elementary Proof of p(11n + 6) º 0 (mod11) , J. of Combinatorial Theory, 6, 56 – 69, 1969.