A New Look to the Usual Norm of c0 and Candidates to Renormings of c0 with Fixed Point Property

Öz

In this study, we investigate some renormings of c₀ and fixed point theory related questions constructing some equivalent norms to the canonical norm of the Banach space of sequences converging to 0, c₀. Then, we show that respect to these equivalent norms, c₀ does not include any asymtoticaly isometric copy of itself with its usual norm. Dowling, Lennard and Turett proved that if a Banach space has an asymptotically isometric (ai) copy of c₀ or l¹ inside, then it fails to have the fixed point property for nonexpansive mappings (FPP(ne)). It is well-known that neither these spaces has FPP(ne) but as an intriguing work, P. K. Lin showed that l¹ can be renormed to have FPP(ne). Researchers still wonder if c₀ can be renormed to have FPP(ne). In order to work on c₀-analogue of P. K. Lin’s theory, it is important to study renormings that do not have any ai copy of c₀ inside. That is why, our renormings might be candidates to answer P. K. Lin’s c₀-analogue and they can be considered as the first stage to research this big open question.

Anahtar Kelimeler

• Fixed Point Property,Renorming,Asymptotically Isometric Copy,Banach Spaces,Sequence Space c0,Nonexpansive Mappings

c0’ın Alışılmış Normuna Yeni Bir Bakış ve c0’ın Sabit Nokta Teorisine Sahip Yeniden Normlamaları için Adaylar

Öz

Bu çalışmamızda 0 a yakınsak dizilerin uzayı olan c₀ Banach uzayı üzerinde kendi kanonik normuna eşdeğer bazı normlar tanımlayarak c₀ uzayının yeniden normlanmışlarını sabit nokta teorisi açısından soruları inceliyoruz. Çalışmamızda gösteririz ki geliştirmiş olduğumuz eşdeğer normlara göre bu yeniden normlamalar c₀’ın alışılmış normunun asimtotik izometrik kopyasını içermez. Dowling, Lennard ve Turett ispatlamıştır ki eğer bir Banach uzayı c₀ veya l¹’in asimtotik izometrik kopyalarından birini içerirse genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisine (SNT(gf)) sahip olamazlar. Çok iyi bilinen bir gerçek olarak bu iki uzayın hiçbiri SNT(gf)’ye sahip değildir. Çığır açıcı olarak nitelendirilen bir çalışma ile P. K. Lin göstermiştir ki l¹ uzayı SNT(gf)’ye sahip olacak şekilde yeniden normlanabilir. c₀ uzayının SNT(gf)’ye sahip olacak şekilde yeniden normlanabilip normlanamayacağı açık bir sorudur.  P. K. Lin’in teorisinin c₀-analoğu üzerinde çalışabilmek için c₀’ın asimtotik izometrik kopyalarını içermeyen yeniden normlamalar üzerinde çalışmak önemlidir. Bu sebeple bizim yeniden normlamalarımız P. K. Lin’in c₀-analoğunu çözebilmek için aday olabilir ve bu büyük açık soruyu araştırmak için ilk aşama olarak kabul edilebilir.

Anahtar Kelimeler

• Sabit Nokta Teorisi,Yeniden Normlama,Asimtotik İzometrik Kopya,Banach Uzayları,c0 Dizi Uzayı,Genişlemeyen Fonksiyonlar

Kaynakça

1. Bessaga, C., Pełczyński, A. (1958). On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces. Studia Mathematica, 17(2), 151-164.
2. Diestel J. (2012). Sequences and series in Banach spaces. Vol. 92. Springer Science & Business Media, New York, 263.
3. Goebel K., Kuczumow T. (1979). Irregular convex sets with fixed-point property for nonexpansive mappings. Colloquium Mathematicae, 40 (2), 259–264.
4. Hardy, G. H., Littlewood, J. E., Pólya, G. (1952). Inequalities. Cambridge University press. 324.
5. Dowling, P., Lennard, C. (1997). Every nonreflexive subspace of 𝐿₁[0, 1] fails the fixed point property. Proceedings of the American Mathematical Society, 125(2), 443-446.
6. Dowling, P. N., Lennard, C. J., Turett, B. (1996). Reflexivity and the fixed-point property for nonexpansive maps. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 200(3), 653-662.
7. Dowling, P. N., Lennard, C. J., Turett, B. (2001). Renormings of ℓ1 and c0 and Fixed Point Properties. In: Handbook of metric fixed point theory. Kirk W. and Sims B. (eds), Springer Netherlands, 269-297.
8. Lennard, C., Nezir, V. (2011). The closed, convex hull of every ai c0-summing basic sequence fails the FPP for affine nonexpansive mappings. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 381(2), 678-688.

9. Lin, P. K. (2008). There is an equivalent norm on ℓ1 that has the fixed point property. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 68(8), 2303-2308.
10. Nezir, V. (2017). Renorming c0 and affine fixed point property. Submitted.
11. Nezir, V. (2017). Asymptotically isometric copies of ℓ1⊞0. Submitted.
12. Nezir, V., Sade, S. (2017). Abundance of equivalent norms on c0 with fixed point property for affine nonexpansive mappings. Communications Faculty of Sciences University of Ankara Series A, 1. 67(1), 1-28.
13. Núñez, C. (1989). Characterization of Banach spaces of continuous vector valued functions with the weak Banach-Saks property. Illinois Journal of Mathematics, 33(1), 27–41.