A New Look to the Usual Norm of c0 and Candidates to Renormings of c0 with Fixed Point Property

Yıl 2017, Cilt: 10 Sayı: 2, 85 - 102, 31.12.2017

Veysel Nezir

Öz

In this
study, we investigate some renormings of c₀ and fixed point theory
related questions constructing some equivalent norms to the canonical norm of
the Banach space of sequences converging to 0, c₀. Then, we show
that respect to these equivalent norms, c₀ does not include any
asymtoticaly isometric copy of itself with its usual norm. Dowling, Lennard and
Turett proved that if a Banach space has an asymptotically isometric (ai) copy
of c₀ or l¹ inside, then it fails to have the fixed point
property for nonexpansive mappings (FPP(ne)). It is well-known that neither
these spaces has FPP(ne) but as an intriguing work, P. K. Lin showed that l¹
can be renormed to have FPP(ne). Researchers still wonder if c₀ can
be renormed to have FPP(ne). In order to work on c₀-analogue of P. K.
Lin’s theory, it is important to study renormings that do not have any ai copy
of c₀ inside. That is why, our renormings might be candidates to
answer P. K. Lin’s c₀-analogue and they can be considered as the
first stage to research this big open question.

Anahtar Kelimeler

Fixed Point Property, Renorming, Asymptotically Isometric Copy, Banach Spaces, Sequence Space c0, Nonexpansive Mappings

c0’ın Alışılmış Normuna Yeni Bir Bakış ve c0’ın Sabit Nokta Teorisine Sahip Yeniden Normlamaları için Adaylar

Öz

Bu
çalışmamızda 0 a yakınsak dizilerin uzayı olan c₀ Banach uzayı
üzerinde kendi kanonik normuna eşdeğer bazı normlar tanımlayarak c₀
uzayının yeniden normlanmışlarını sabit nokta teorisi açısından soruları
inceliyoruz. Çalışmamızda gösteririz ki geliştirmiş olduğumuz eşdeğer normlara
göre bu yeniden normlamalar c₀’ın alışılmış normunun asimtotik
izometrik kopyasını içermez. Dowling, Lennard ve Turett ispatlamıştır ki eğer
bir Banach uzayı c₀ veya l¹’in asimtotik izometrik
kopyalarından birini içerirse genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta
teorisine (SNT(gf)) sahip olamazlar. Çok iyi bilinen bir gerçek olarak bu iki
uzayın hiçbiri SNT(gf)’ye sahip değildir. Çığır açıcı olarak nitelendirilen bir
çalışma ile P. K. Lin göstermiştir ki l¹ uzayı SNT(gf)’ye sahip
olacak şekilde yeniden normlanabilir. c₀ uzayının SNT(gf)’ye sahip
olacak şekilde yeniden normlanabilip normlanamayacağı açık bir sorudur.  P. K. Lin’in teorisinin c₀-analoğu
üzerinde çalışabilmek için c₀’ın asimtotik izometrik kopyalarını
içermeyen yeniden normlamalar üzerinde çalışmak önemlidir. Bu sebeple bizim
yeniden normlamalarımız P. K. Lin’in c₀-analoğunu çözebilmek için
aday olabilir ve bu büyük açık soruyu araştırmak için ilk aşama olarak kabul
edilebilir.

Anahtar Kelimeler

Sabit Nokta Teorisi, Yeniden Normlama, Asimtotik İzometrik Kopya, Banach Uzayları, c0 Dizi Uzayı, Genişlemeyen Fonksiyonlar

Kaynakça

• Bessaga, C., Pełczyński, A. (1958). On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces. Studia Mathematica, 17(2), 151-164.
• Diestel J. (2012). Sequences and series in Banach spaces. Vol. 92. Springer Science & Business Media, New York, 263.
• Goebel K., Kuczumow T. (1979). Irregular convex sets with fixed-point property for nonexpansive mappings. Colloquium Mathematicae, 40 (2), 259–264.
• Hardy, G. H., Littlewood, J. E., Pólya, G. (1952). Inequalities. Cambridge University press. 324.
• Dowling, P., Lennard, C. (1997). Every nonreflexive subspace of 𝐿₁[0, 1] fails the fixed point property. Proceedings of the American Mathematical Society, 125(2), 443-446.
• Dowling, P. N., Lennard, C. J., Turett, B. (1996). Reflexivity and the fixed-point property for nonexpansive maps. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 200(3), 653-662.
• Dowling, P. N., Lennard, C. J., Turett, B. (2001). Renormings of ℓ1 and c0 and Fixed Point Properties. In: Handbook of metric fixed point theory. Kirk W. and Sims B. (eds), Springer Netherlands, 269-297.
• Lennard, C., Nezir, V. (2011). The closed, convex hull of every ai c0-summing basic sequence fails the FPP for affine nonexpansive mappings. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 381(2), 678-688.
• Lin, P. K. (2008). There is an equivalent norm on ℓ1 that has the fixed point property. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 68(8), 2303-2308.
• Nezir, V. (2017). Renorming c0 and affine fixed point property. Submitted.
• Nezir, V. (2017). Asymptotically isometric copies of ℓ1⊞0. Submitted.
• Nezir, V., Sade, S. (2017). Abundance of equivalent norms on c0 with fixed point property for affine nonexpansive mappings. Communications Faculty of Sciences University of Ankara Series A, 1. 67(1), 1-28.
• Núñez, C. (1989). Characterization of Banach spaces of continuous vector valued functions with the weak Banach-Saks property. Illinois Journal of Mathematics, 33(1), 27–41.