Hava Dirençli Bir Ortamda Serbest Düşme Hareketinin Deneysel ve Kesirli Analizi

Öz

Bu çalışmada, hava direncinin ihmal edilmediği bir ortamda küresel cisimlerin serbest düşme hareketi deneysel ve teorik olarak incelenmiştir. Newton'un ikinci yasası ve Stokes yasasından türetilen standart teorik modelin çözümü, deneysel ölçümler ile uyum içinde olmadığı görülmüştür. Bu uyumsuzluğu giderebilmek için, standart teorik model kesirli analiz kullanılarak yeniden tanımlanmış ve çözülmüştür. Denklemi boyutsuzlaştırmak için Planck zaman birimi kullanılmıştır. Farklı kütlelere ve yarıçaplara sahip cisimler çeşitli yüksekliklerden bırakılarak deneysel ölçümler yapılmış ve deneysel ölçümlerle uyumlu olan kesirli türev mertebeleri elde edilmiştir. Ayrıca türev mertebesinin azalan değerleri için düşme sürelerindeki değişimler incelenmiştir.

Anahtar Kelimeler

• Kesirli analiz
• Caputo kesirli türevi
• Planck birimleri
• Serbest düşme hareketi
• Hava direnci

Experimental and Fractional Analysis of Free Fall Motion in a Medium with Air Resistance

Öz

In this study, the free-fall motion of spherical objects in an environment where air resistance cannot be neglected is investigated experimentally and theoretically. The standard theoretical model derived from Newton's second law and Stokes' law is found to be inconsistent with the experimental measurements. To resolve this inconsistency, the standard theoretical model is redefined and solved using the fractional calculus. The Planck time unit has been used to make the equation dimensionless. Experimental measurements were obtained for two spheres of different masses and radii dropped from various heights, and the fractional derivative orders that best matched the experimental measurements were obtained. Furthermore, the changes in fall times for decreasing values of the derivative order are investigated.

Anahtar Kelimeler

• Fractional calculus
• Caputo fractional derivative
• Planck units
• Free fall motion
• Air resistance

Kaynakça

1. Acay B., Ozarslan R., Bas E. Fractional physical models based on falling body problem. AIMS Mathematics 2020; 5(3): 2608-2628.
2. Boas ML. Mathematical method in the physical sciences. New York: John Wiley and Sons; 1966.
3. Carpinteri A., Mainardi F. Fractals and fractional calculus in continuum mechanics. Wien: Springer Verlag; 1997.
4. Casasanta G., Ciani D., Garra R. Non-exponential extinction of radiation by fractional calculus modelling. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer 2012; 113(2): 194-197.
5. Çalık AE., Ertik H., Öder B., Şirin H. A fractional calculus approach to investigate the alpha decay processes. International Journal of Modern Physics E 2013; 22(7): 1350049.
6. Çalık AE., Şirin H., Ertik H., Öder B., Şen M. Half-lives of spherical proton emitters within the framework of fractional calculus. International Journal of Modern Physics E 2014; 23(9): 1450044.
7. Çalık AE., Şirin H., Ertik H., Şen M. Analysis of charge variation in fractional order LC electrical circuit. Revista Mexicana de Fisica 2016; 62(5): 437-441.
8. Çalık AE., Şirin H., Şen M. Experimental and fractional analysis of half-value thicknesses of polyethylene absorber. Revista Mexicana de Fisica 2020; 66(2): 232-238.

9. Ebaid A., El-zahar ER., Aljohani AF., Salah B., Krid M., Machado JT. Analysis of the two-dimensional fractional projectile motion in view of the experimental data. Nonlinear Dynamics 2019; 97: 1711-1720.
10. Ertik H., Çalık AE., Şirin H., Şen M., Öder B. Investigation of electrical RC circuit within the framework of fractional calculus. Revista Mexicana de Fisica 2015; 61: 58-63.
11. Kilbas AA., Srivastava HM., Trujillo JJ. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier; 2006.
12. Losada J., Nieto JJ. Properties of a new fractional derivative without singular kernel. Progress in Fractional Differentiation and Applications, An International Journal 2015; 1(2): 87-92.
13. Martinez R., Gallegos A., Macias-Diaz JE. A fractional tumor-growth model and the determination of the power law for different cancers based on data fitting. Applied Mathematics Letters 2024; 147: 108840.
14. Miller KS., Ross B. An ıntroduction to the fractional calculus and fractional differential equations. New York; John Wiley and Sons; 1993.
15. Oldham KB., Spanier J. The Fractional calculus. San Diego: Academic Press; 1974.
16. Petras I. Fractional-order nonlinear systems modeling, Analysis and Simulation. Berlin: Springer-Verlag; 2011. Podlubny I. Fractional differential equations. San Diego: Academic Press; 1999.
17. Rızaoğlu E., Sünel N. Klasik Mekanik. Tokat: Seçkin Yayınları; 2006.
18. Rosales Garcia JJ., Guia Calderon M., Martinez Ortiz J., Baleanu D. Motion of a particle in a resisting medium using fractional calculus approach. Proceedings of the romanian academy, Series A 2013; 14(1): 42-47.
19. Rosales JJ., Guia M., Gomez F., Aguilar F., Martinez J. Two dimensional fractional projectile motion in a resisting medium, Central European Journal of Physics 2014; 12(7): 517-520.
20. Salahshour S., Ahmadian A., Ismail F., Baleanu D. A fractional derivative wity non-singular kerner for interval-valued functions under uncertainty. Optik 2017; 130: 273-286.
21. Şen M., Çalık AE. Calculation of half-value thickness for aluminum absorbers by means of fractional calculus. Annals of Nuclear Energy 2014; 63: 46-50.
22. Şen M., Çalık AE., Ertik H. Determination of half-value thickness of aluminum foils for different beta sources by using fractional calculus. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B: Beam Interactions with Materials and Atoms 2014; 335: 78-84.
23. Şen M., Çalık AE., Senturk I., Şirin H. A generalization of cell survival models via fractional approach. Physica Scripta 2025; 100(3): 035019.
24. Şen M., Çalık AE., Şirin H. Theoretical investigation of tenth-value thicknesses of aluminium absorbers. AIP Conference Proceedings 2019; 2178(1): 030058.
25. Şirin H. Transport olayının istatistiksel mekanik yöntemlerle incelenmesi. Ege Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Doktora Tezi, sayfa no:83, İzmir, Türkiye, 2011.
26. Şirin H., Çalık AE. Newton’un soğuma kanunu: Kesirsel bir yaklaşım. Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi 2019; 19(1): 60-66.
27. Uzun M., Şirin H., Çalık AE., Atman KG. Graybody radiation phenomena in a fractional manner. X‐Ray Spectrometry 2018; 47(5): 405-409.
28. Valentim Jr CA., Oliveira NA., Rabi JA., David SA. Can fractional calculus help improve tumor growth models?. Journal of Computational and Applied Mathematics 2020; 379: 112964.
29. Yörük E., Çalık AE., Atman KG., Şirin H. A fractional approach to cluster radioactivity. International Journal of Modern Physics E 2024; 33(01n02): 2450008.