Set theory interpretation for exponential approximation of time-ordered integral

Abstract

This introductory study suggests a formal basis for the interpretation of a continuous path in a connected matrix Lie group to be represented by the set of von Neumann ordinals which is a set-theoretical interpretation of natural numbers. In this study, it is aimed to relate the discrete recurrent structure of von Neumann ordinals to the exponential function. Since the Exponential function is fundamentally integrated into science and engineering literature this work aims to discover ties between the Exponential function and sets where, the Exponential function utilized in machine learning, loss functions; cryptography, key exchange and encryption algorithms; robotics, kinematics, trajectory planning; numerical analysis, discrete integration. Thus, the set theoretical interpretation of the exponential function has an interdisciplinary critical role. Throughout the article, necessary conjectures are postulated to interpret the rotations that form a smooth curve in terms of sets, namely von Neumann ordinals. Introduced formalizations covering Set existence axiom, unit element for set groups, interpretation of a smooth curve in terms of multiplication of exponentials, introduced a derivative operator to observe limited differentiable properties of the exponential function.

Keywords

• Discrete mathematics
• Lie group
• Von Neumann ordinals
• Smooth curve
• Exponential function
• Derivative operator
• Rotation Group
• Set theory

Zaman-Sıralı integralin üstel fonksiyon yakınsaması için küme teorisi yorumu

Öz

Bu giriş çalışması, bağlı matris Lie grubundaki sürekli bir yolun, doğal sayıların küme teorik bir yorumu olan von Neumann ordinali olan kümeler ile temsil edilmesi için biçimsel bir temel önermektedir. Bu çalışmada, von Neumann ordinallerinin ayrık tekrarlayan yapısının üstel fonksiyon ile ilişkilendirilmesi amaçlanmıştır. Üstel fonksiyon temelde bilim ve mühendislik literatürüne entegre olduğundan bu çalışma, makine öğrenimi, kayıp fonksiyonları; kriptografi, anahtar değişimi ve şifreleme algoritmaları; robotik, kinematik, yörünge planlama; sayısal analiz, ayrık entegrasyon gibi alanlarda kullanılan Üstel fonksiyon ile kümeler arasındaki bağları keşfetmeyi amaçlamaktadır. Bu nedenle, üstel fonksiyonun küme teorik yorumu disiplinler arası kritik bir role sahiptir. Makale boyunca, düzgün bir eğri oluşturan rotasyonları kümeler, yani von Neumann ordinalleri açısından yorumlamak için gerekli varsayımlar öne sürülmektedir. Küme varlığı aksiyomu, küme grupları için birim eleman, düzgün bir eğrinin üstellerin çarpımı açısından yorumlanması, üstel fonksiyonun kısmen türevlenebilir özelliklerini gözlemlemek için bir türev operatörünün tanımlanmasını kapsayan formalizasyonlar tanıtılmıştır.

Anahtar Kelimeler

• Ayrık matematik
• Lie grubu
• Von Neumann ordinalleri
• Pürüzsüz eğri
• Türev operatörü
• Rotasyon grubu
• Küme teorisi

Kaynakça

1. [1] Çakır Ş, Kantarcı A. “Cellular automata and computer graphics”. Pamukkale University Journal of Engineering Sciences, 5(1), 927-931, 1999.
2. [2] Driessen JJM. “Random closed line on a 3D sphere”. https://tex.stackexchange.com/questions/496616/rand om-closed-line-on-a-3d-sphere (20.12.2021).
3. [3] Rudin W. Principles of Mathematical Analysis. 3rd ed. New York, USA, McGraw-Hill, 1976.
4. [4] Tokmakoff A. “Time-Evolution Operator” https://chem.libretexts.org/@go/page/107223 (20.12.2021).
5. [5] Haber H. “The Time Evolution Operator As A TimeOrdered Exponential”. http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph215/TimeOrderedExp. pdf (20.05.2023).
6. [6] Goldrei DC. Classic Set Theory: For Guided Independent Study. 1st ed. New York, USA, Routledge, 2017.
7. [7] Stillwell J. Naive lie Theory. 1st ed. New York, USA, Springer Science & Business Media, 2008.
8. [8] Hall B. Lie Groups Lie algebras, and Representations: An Elementary Introduction. 2nd ed., New York, USA, Springer, 2015.