Modelling of Axially Loaded Cantilever Rod Using Element Free Galerkin Method

Abstract

Element free Galerkin method is one of many numerical methods which was applied to various engineering systems. Therefore, in this study two linear elastic rods having solid cross sections were investigated for different loading conditions. The problem considered in the analysis is one dimensional linear elastic cantilever rods and rods are subjected to axial loads f(x)=x and f(x)=0 [ f(l)=1]. Moving least square approximation was used as shape functions. Shape functions were applied to one and two dimensional solution domains, and plotted. In this paper, axial displacement values obtained by using element free Galerkin method which proposed and used by researchers for approximating the solution were compared with analytical solution. As a result, it was found that element free Galerkin method is an effective and trustworthy numerical solution method.

Keywords

• Meshless methods, Element free Galerkin method, Moving least square approximation, Analytical solution.

Eksenel Yüklü Ankastre Çubuğun Davranışının Eleman Bağımsız Galerkin Yöntemiyle Çözülmesi

Öz

Eleman bağımsız Galerkin yöntemi çeşitli mühendislik sistemlerine uygulanan sayısal çözümleme yöntemlerinden birisidir. Bu çalışmada, bu amaçla lineer elastik, dolu kesitli çubuklar seçilip, değişik yük şartları iki örnek üzerinde incelenmiştir. Problem olarak, f(x)=x ve f(x)=0 [ f(l)=1] eksenel yüklerine maruz bırakılan ankastre çubuklar, bir boyutlu lineer elastik olarak incelenmiştir. Şekil fonksiyonu olarak hareketli en küçük kareler yaklaşımı kullanılmıştır. Şekil fonksiyonları bir ve iki boyutlu çözüm bölgelerine uygulanıp grafik olarak verilmiştir. Bu çalışmada yaklaşık çözüm için araştırmacılar tarafından kullanılıp önerilen eleman bağımsız Galerkin yöntemi yardımıyla hesaplanan yer değiştirme değerleri, analitik çözümle karşılaştırılmıştır. Sonuç olarak eleman bağımsız Galerkin metodunun bu tür problemlerin çözümünde etkili ve güvenilir bir yöntem olduğu belirlenmiştir.

Anahtar Kelimeler

• Ağsız yöntemler, Eleman bağımsız Galerkin yöntemi, Hareketli en küçük kareler yaklaşımı, Analitik çözüm.

Kaynakça

1. Gingold R.A., Monaghan, J.J. 1977. Smoothed par- ticle hydrodynamics: theory and application to non- spherical stars, Monthly Notices R. Astron. Soc. (181), 375-389.
2. Libersky, L.D., Petscheck, A.G., Carney, T.C., Hipp, J.R., Allahdadi, F.A. 1993. High strain Lagrangian hydrody- namics, J. Comput. Phys. (109), 67–75.
3. Liu, G. R. 2003. Mesh Free Methods: Moving Beyond the Finite Element Method, CRC Press, Florida.
4. Liu, G.R., Gu, Y.T. 2005. An Introduction to Meshfree Methods and Their Programming, Springer, The Netherlands.
5. Liu, W.K., Jun, S., Zhang, Y.F. 1995. “Reproducing ker- nel particle methods” Int. J. Numer. Methods Eng. (20), 1081-1106.
6. Lucy. L.B. 1977. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis, Astron. J. (82), 1013-1024.
7. Monaghan, J.J. 1982. Why particle methods work, SIAM J. Sci. Stat. Comput. 3 (3), 422-433.
8. Monaghan, J.J., 1988. An introduction to SPH, Com- put. Phys. Commun. 48 (1), 89-96.

9. Mukherjee, Y.X., Mukherjee, J. 1997. Boundary node method for potential problems. Int. J. Num. Methods in Engrg. (40), 797-815.