Aksiyomlanabilir Teorilerin Tam Tutarlı Uzantılarının Hesaplanabilirlik Dereceleri

Bu makalede matematiksel mantık ve temellerin bir dalı olan {\em hesaplanabilirlik kuramı} ile ilişkili $\Pi^0_1$ sınıfları (kümeleri) çalışılmıştır. ZFC kümeler kuramı veya Peano aritmetiği gibi aksiyomlanabilir herhangi bir teorinin tam tutarlı uzantılarının kümesi, bir $\Pi^0_1$ sınıfı olarak görülür. Benzer şekilde herhangi bir $\Pi^0_1$ sınıfı, aksiyomlanabilir bir teorinin tam tutarlı uzantılarının kümesi olarak ifade edilebilir. Aynı zamanda $\Pi^0_1$ sınıfları, doğal sayılar kümesi $\omega$ olarak gösterilirse, $2^\omega$ Cantor uzayının hesaplanabilir ve kapalı altkümeleri olarak görülebilir. Bu yüzden bir $\Pi^0_1$ sınıfı, sonlu sayıda dallanmaya sahip hesaplanabilir bir ağacın sonsuz yollarının kümesi olarak ele alınabilir. Kabaca tanımıyla, bir $A\subset\omega$ kümesinin hesaplanabilir olması demek, verilen herhangi bir $x\in\omega$ için $x\in A$ olup olmadığına algoritmik bir hesaplama sonucunda cevap verebilmek demektir. Hesaplamada ek olarak başka kümenin eleman bilgisi kullanıldığında hesaplanabilirlik kavramı göreceleştirilmiş olur. Herhangi bir $B\subset\omega$ kümesinin bir $A\subset\omega$ kümesini hesaplaması $A\leq_T B$ ifadesi ile gösterilsin. $A$ ve $B$ kümelerinin {\em katılımı} $A\oplus B=\{2i:i\in A\}\cup\{2i+1:i\in B\}$ olarak tanımlansın. $\emptyset'$ {\em durma kümesini} göstersin. Bu çalışmada kanıtlayacağımız teorem şudur: {\bf (Teorem 3.10). }Öyle bir aksiyomlanabilir teori $T$ vardır ki eğer $R$ ve $S$ kümeleri $T$'nin tam tutarlı olan herhangi iki uzantısı ise, $\emptyset'\not\leq_T R\oplus S$. Bu sonuç, Jockusch ve Soare'ın \cite{JS} kesişim baz teoreminin birleşim (katılım) için doğru olmadığını göstermektedir.