Reel Kuaternionlarla Serret-Frenet Formülleri

Yıl 2005, Cilt: 9 Sayı: 3, 1 - 8, 29.03.2009

S Demir K Öztaş

Öz

Bu çalışmada reel kuaternionların genel tanımı yapıldıktan sonra reel kuaternionlarla Serret-Frenet formülleri arasındaki bağıntılar incelenmiştir. Reel kuaternionların dört baz elemanı ile temsil edilebilmesine karşın, kompleks nitelikte olan üç baz elemanı kullanılarak da vektörler kolaylıkla ifade edilebilmektedir. Diğer yandan, kuaternion çarpımının çok iyi bilinen vektör çarpımlarından farklı olması Serret-Frenet formüllerinin reel kuaternionlarla elde edilmesi için bir engel değildir. Bu çalışmada Serret-Frenet formüllerinin temsili için alternatif bir yöntem geliştirilmiştir.

Anahtar Kelimeler

Reel kuaternion, Koordinat sistemi, Serret-Frenet formülleri

Kaynakça

• b kuaternionunun yay uzunluğuna göre türevi alınırsa, W. R. Hamilton “Elements of Quaternions” Vol.I, II and III, Chelsea, New York (1899) ds (×n ) r ⎞ t⎟⎟ ⎠ ρ ⎜⎜ +t× ⎝ ⎟⎟ ⎠ ρ ⎝ ⎜⎜ − + − = +t× ×n−t r − n×n r ρ ρ
• J. C. K. Chou, “Quaternion Kinematic and Dynamic Differantial Equations” IEEE Transaction on Robotics and Automation, 8(1) (1992) 53-64 τn (3.39) ds
• R. A. Wehage, “Quaternion and Euler Parameters-A Brief Expansion” Computer Aided Analysis and Optimization of Mechanical System Dynamics E.J. Haug ed. (1984) 147-180 elde edilir. Diğer bir ifadeyle, B= τN**=τNT (3.40) ds
• P. Du Val, “Homographies, Quaternions and Rotations” Clarendon Press, Oxford, (1964)
• G. Harauz, “Representation of Rotations by Unit Quaternions” Ultramicroscopy 33 (1990) 209-213 matris bağıntısı yazılabilir. Bu sonuçlar, klasik yöntemlerle edilen sonuçlarla uyum içerisindedir.
• F. R. Spena, “A Note on Quaternion Algebra and Finite Rotations” Nuovo Cimento 108B(6) (1993) 698 Tartışma ve Sonuç
• J. M. R. Martinez, J. G. Alvarado, “A Simple Method for the Determination of Angular Velocity and Acceleration of a Spherical Motion Through Quaternions” Meccanica 35 (2000) 111-118 yola çıkılarak keşfedildiği düşünüldüğünde, ortaya konulan formülasyonun hem klasik vektör cebirinin özelliklerinden hem de kompleks sayıların özelliklerinden yararlanmaya imkan verdiği görülmektedir. Nitekim,
• D. P. Chevallier, “Lie Algebras, Modules, Dual Quater nions and Algebraic Methods in Kinematics” Mechanism and Machine Theory, 26(6) (1991) 613
• B. Jüttler, “Visualization of Moving Objects Using Dual Quaternion Curves” Computers and Graphics (3) (1994) 315-326
• S. Demir, K. Özdaş, M. Tanışlı “Dönme ve Öteleme Hareketinin Dual Kuaternionlarla Temsili” Marmara Ü. Fen Bilimleri Dergisi, 16 (2000) 55-64
• P.Azariadis, N. Aspragathos, “Computer Graphics Representation and Transformation of Geometric Entities Using Dual Unit Vectors and Line Transformations” Computers and Graphics 25, (2001) 195-209
• S. Demir, K. Özdaş, “Dual Quaternionic Reformulation of Electromagnetism”, Acta Physica Slovaca 53(6) (2003) 429-436
• K. Bharathi, M. Nagaraj, “Quaternion Valued Function of a Real Variable Serret-Frenet Formulae” Indian J. Pure Appl. Math. 16 (1985) 756
• A. İ. Sivridağ, R. Güneş, S. Keleş, “The Serret- Frenet Formulae for Dual Quaternion-Valued Functions of a Single Real Variable” Mech. Mach. Theory 29(5) (1994) 749-754
• A. Tuna, A. C. Çöken, “E4 yarı-öklid Uzayındaki Kuaterniyonik Eğriler Formülleri” S. Demirel Ü. Fen Bilimleri. Enst. Dergisi 7(1) (2003) 92-99 İçin Serret-Frenet
• C. C. Silva, R. A. Martins, “Polar and Axial Vectors Versus Quaternions” American Journal of Physics 70(9) (2002) 958-964
• K. Özdaş, “Bölüm Cebirleri ve Bunların Fiziksel Uygulamaları” Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları, Eskişehir (1995)
• T. C. Bradbury, “Theoretical Mechanics” John Wiley and Sons, New York (1968)
• H. Cheng, “Programming with Dual Numbers and its Applications in Mechanisms Design” Engineering with Computers 10(4) (1994) 212-229
• K. Shoemake, “Animating Rotations with Quaternion Curves” Computer Graphics (Proc. SIGGRAPH’85) 19 (1985) 245-254