Medyan Bireylerarası Farkın Düzenlilik ve Örnekleme Davranışı Üzerine

Abstract

Ortanca Bireyler Arası Fark (MEID), bir örneklem içindeki tüm pozitif ikili farkların ortancası olarak tanımlanmış olup, hem asimptotik hem de bootstrap yöntemleriyle aralık tahmini yapılabilen mutlak bir değişkenlik ölçüsü olarak önerilmiştir; ancak, sonlu örneklem davranışlarının daha ayrıntılı bir şekilde değerlendirilmesi gerekmektedir. Bu Monte Carlo simülasyonu, bootstrap ve asimptotik yaklaşımların standart hatalar ve güven aralığı genişlikleri açısından karşılaştırılabilir bir performans gösterip göstermediğini ve MEID'nin örnekleme dağılımının farklı dağılımsal koşullar altında normalliğe yakınsayıp yakınsamadığını incelemiştir. 65 koşulun (13 örneklem büyüklüğü × 5 dağılım) her biri için 1000 örneklem üretilmiştir. Her koşul içinde, ortalama Wald tipi ve bootstrap güven aralığı genişlikleri ile log-dönüşümlü standart hatalar eşleştirilmiş t-testleri kullanılarak karşılaştırılmış; değişkenliklerin eşitliği Pitman–Morgan testi ile değerlendirilmiş ve bootstrap tarafından üretilen örnekleme dağılımlarının normalliği Shapiro–Francia testi kullanılarak sınanmıştır. Sonuçlar, asimptotik ve bootstrap çıkarımları arasında genel bir denkliği desteklememiştir. Pratik denklik, yaklaşık olarak düzenli sürekli dağılımlar ve büyük örneklemler altında ortaya çıkmış; buna karşılık, güçlü asimetri durumlarında farklılıklar devam etmiştir. Kesikli dağılımlarda ise, MEID örneklem büyüklüğü arttıkça bir sabite yakınsamış, bu da bootstrap kaynaklı değişkenliğin neredeyse sıfıra yakın olmasına yol açmış ve belirli yeniden örnekleme temelli güven aralığı yöntemlerinin pratik kullanışlılığını sınırlamıştır. Normalliğe yakınsama yalnızca sürekli ortamlarda gerçekleşmiş ve örneklem büyüklüğüyle birlikte artmıştır. Bu bulgular, MEID'nin istikrarlı ve yorumlanabilir çıkarımlar sağladığı koşulları ortaya koymaktadır.

Keywords

• U-kantiller
• asimptotik çıkarım
• bootstrap yöntemleri
• dejenerasyon
• kesikli dağılımlar

Supporting Institution

Bu çalışma tamamen yazarın kişisel kaynaklarıyla finanse edilmiştir. Yazar, Meksika’daki UANL Psikoloji Fakültesi ile ilişkilidir.

Ethical Statement

Bu çalışma tamamen simüle edilmiş verilere dayandığından, tanımlanabilir herhangi bir içerik içermemiş ve insan katılımcıları, biyolojik örnekler ya da ampirik deneysel prosedürler kapsamamıştır; dolayısıyla herhangi bir etik sorun söz konusu olmamıştır. Metodolojik bir simülasyon çalışması niteliğinde olması nedeniyle, bir Etik Kurul incelemesi ya da onayı gerektirmemiştir.

Thanks

Yazar, makalenin niteliğini önemli ölçüde artıran değerli yorum ve önerileri için hakemlere ve editöre teşekkür eder.

On the Regularity and Sampling Behavior of the Median Interindividual Difference

Abstract

The Median Interindividual Difference (MEID), defined as the median of all positive pairwise differences within a sample, has been proposed as an absolute measure of variability with both asymptotic and bootstrap procedures for interval estimation; however, its finite-sample behavior requires further evaluation. This Monte Carlo simulation examined whether bootstrap and asymptotic approaches show comparable performance in terms of standard errors and confidence interval widths, and whether the sampling distribution of the MEID converges to normality under different distributional conditions. For each of 65 conditions (13 sample sizes × 5 distributions), 1000 samples were generated. Within each condition, mean Wald-type and bootstrap confidence interval widths and log-transformed standard errors were compared using paired t-tests; equality of variability was assessed with the Pitman–Morgan test, and normality of bootstrap-generated sampling distributions was evaluated using the Shapiro–Francia test. Results did not support overall equivalence between asymptotic and bootstrap inference. Practical equivalence emerged under approximately regular continuous distributions and large samples, whereas discrepancies persisted under strong asymmetry. In discrete distributions, the MEID converged to a constant as the sample size increased, resulting in near-zero bootstrap variability and limiting the practical usefulness of certain resampling-based confidence interval procedures. Convergence toward normality occurred only in continuous settings and increased with sample size. These findings delineate the conditions under which the MEID yields stable, interpretable inference.

Keywords

• U-quantiles
• asymptotic inference
• bootstrap methods
• degeneracy
• discrete distributions

Supporting Institution

This study was fully funded by the author’s personal resources. The author is affiliated with the School of Psychology, UANL, Mexico.

Ethical Statement

Since this study was based entirely on simulated data with no identifiable content and did not involve human participants, biological samples, or empirical experimental procedures, no ethical issues were implicated. As a methodological simulation study, it did not require review or approval from an Ethics Committee

Thanks

The author thanks the reviewers and the editor for their valuable comments and suggestions, which substantially improved the quality of the manuscript.

References

1. [1] R Core Team, R: A Language and Environment for Statistical Computing, 2025. [Online]. Available: https://www.R-project.org/
2. [2] J. Moral, “Measures of Interindividual Variation I: Definition and Computation,” Open J. Stat., vol. 16, no. 2, pp. 47–88, 2026, doi: 10.4236/ojs.2026.162004
3. [3] M. Wendler, “Bahadur representation for U-quantiles of dependent data,” J. Multivar. Anal., vol. 102, no. 6, pp. 1064–1079, 2011, doi: 10.1016/j.jmva.2011.02.005.
4. [4] W. Hoeffding, “A class of statistics with asymptotically normal distributions,” Ann. Math. Stat., vol. 19, no. 3, pp. 293–325, 1948, doi: 10.1214/aoms/1177730196.
5. [5] B. W. Silverman, Density Estimation for Statistics and Data Analysis. New York: Routledge, 2018, doi: 10.1201/9781315140919.
6. [6] H. Ichimura and W. K. Newey, “The influence function of semiparametric estimators,” Quant. Econ., vol. 13, no. 1, pp. 29–61, 2022, doi: 10.3982/QE826.
7. [7] M. Mayer, “U-Quantile-Statistics,” 2009. arXiv preprint arXiv:0906.1266.
8. [8] R. J. Serfling, Approximation Theorems of Mathematical Statistics. Hoboken NJ: John Wiley and Sons, 1980. doi: 10.1002/9780470316481.

9. [9] V. S. Korolyuk and Y. V. Borovskikh, Theory of U-Statistics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994.
10. [10] M. Schultzberg and S. Ankargren, “Resampling-free bootstrap inference for quantiles,” in Proceedings of the Future Technologies Conference, K. Arai, Ed. Cham: Springer International Publishing, Oct. 2022, pp. 548–562, doi: 10.1007/978-3-031-18461-1_36.
11. [11] B. Grün and T. Miljkovic, “The automated bias-corrected and accelerated bootstrap confidence intervals for risk measures,” North Am. Actuar. J., vol. 27, no. 4, pp. 731–750, 2023, doi: 10.1080/10920277.2022.2141781.
12. [12] J. Cohen, Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences, 2nd ed. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, 1988.
13. [13] E. J. G. Pitman, “A note on normal correlation,” Biometrika, vol. 31, no. 1–2, pp. 9–12, 1939, doi: 10.1093/biomet/31.1-2.9.
14. [14] W. A. Morgan, “A test for the significance of the difference between two variances in a sample from a normal bivariate distribution,” Biometrika, vol. 31, no. 1–2, pp. 13–19, 1939, doi: 10.2307/2334972.
15. [15] S. Champely, “Pitman-Morgan test of variance for paired samples,” in PairedData: Paired Data Analysis, 2018. [Online]. Available: https://www.rdocumentation.org/packages/PairedData/versions/0.9.1/topics/pitman.morgan.test
16. [16] S. W. Raudenbush, “Estimating change in dispersion,” J. Educ. Stat., vol. 13, no. 2, pp. 148–171, 1988, doi: 10.3102/10769986013002148.
17. [17] A. S. Hendi, “Jackknife method to estimate the confidence intervals about an R-squared statistic using SAS,” Global J. Res. Anal., vol. 6, no. 5, pp. 679–683, 2017, doi: 10.15373/2249555X.
18. [18] S. S. Shapiro and R. S. Francia, “An approximate analysis of variance test for normality,” J. Am. Stat. Assoc., vol. 67, no. 337, pp. 215–216, 1972, doi: 10.1080/01621459.1972.10481232.
19. [19] J. P. Royston, “A toolkit of testing for non-normality in complete and censored samples,” J. Roy. Stat. Soc. Ser. D, vol. 42, no. 1, pp. 37–43, 1993, doi: 10.2307/2348109.
20. [20] R. Pouillot and M.-L. Delignette-Muller, “Evaluating variability and uncertainty in microbial quantitative risk assessment using two R packages,” Int J Food Microbiol, vol. 142, no. 3, pp. 330–340, 2010, doi: 10.1016/j.ijfoodmicro.2010.07.011
21. [21] A. Canty and B. Ripley, boot: Bootstrap R (S-Plus) Functions, R package version 1.3-31, 2024. [Online]. Available: https://CRAN.R-project.org/package=boot
22. [22] L. Komsta and F. Novomestky, moments: Moments, Cumulants, Skewness, Kurtosis and Related Tests, R package version 0.14.1, 2022, doi: 10.32614/CRAN.package.moments. [Online]. Available: https://CRAN.R-project.org/package=moments
23. [23] J. Gross and U. Ligges, nortest: Tests for Normality, R package version 1.0-4, 2015, doi: 10.32614/CRAN.package.nortest. [Online]. Available: https://CRAN.R-project.org/package=nortest
24. [24] B. Efron and B. Narasimhan, “The Automatic Construction of Bootstrap Confidence Intervals,” J. Comput. Graph. Stat., vol. 29, no. 3, pp. 608–619, 2020, doi: 10.1080/10618600.2020.1714633.
25. [25] B. Efron and B. Narasimhan, bcaboot: Bias Corrected Bootstrap Confidence Intervals, 2025. [Online]. Available: https://cran.r-project.org/web/packages/bcaboot/bcaboot.pdf
26. [26] J. D. M. Muñoz and J. A. Christen, “Criterion to determine the sample size in stochastic simulation processes,” Ing. Universidad, vol. 26, no. 9, pp. 1–21, 2022, doi: 10.11144/javeriana.iued26.cdss.
27. [27] W. L. Dunn and J. K. Shultis, Exploring Monte Carlo Methods, 2nd ed. Cambridge, MA: Elsevier, 2022, doi: 10.1016/B978-0-12-819739-4.00015-9
28. [28] G. Rousselet, C. R. Pernet, and R. R. Wilcox, “An introduction to the bootstrap: a versatile method to make inferences by using data-driven simulations,” Meta-Psychology, vol. 7, pp. 1–24, 2023, doi: 10.15626/MP.2019.2058.
29. [29] A. Nezzal, Contributions to the Theory of U-Statistics and Empirical Processes, Doctoral dissertation, Université de Technologie de Compiègne, 2022. [Online]. Available: https://theses.hal.science/tel-04640072/
30. [30] A. Lehtinen and J. Raerinne, “Simulated data in empirical science,” Found. Sci., vol. 30, no. 2, pp. 387–408, 2025, doi: 10.1007/s10699-023-09934-9.
31. [31] P. Wibowo and C. Fatichah, “Pruning-based oversampling technique with smoothed bootstrap resampling for imbalanced clinical dataset of Covid-19,” J. King Saud Univ. Comput. Inf. Sci., vol. 34, no. 9, pp. 7830-7839, 2022, doi: 10.1016/j.jksuci.2021.09.021
32. [32] S. Kim, X. Tong, J. Zhou, and J. P. Boichuk, “Conditional median-based Bayesian growth mixture modeling for nonnormal data,” Behav. Res. Methods, vol. 54, no. 3, pp. 1291–1305, 2022, doi: 10.3758/s13428-021-01655-w.
33. [33] E. Beutner, “Delta method, asymptotic distribution,” Wiley Interdiscip. Rev. Comput. Stat., vol. 16, no. 1, pp. 1–15, 2024, doi: 10.1002/wics.1634.