Data-Driven Hybrid Kinematic Modeling of Stewart Platforms

Abstract

This study presents a data-driven and highly accurate forward kinematic modeling approach for six-degree-of-freedom (DoF) Stewart platform mechanism. Traditional analytical and numerical methods have significant limitations due to high computational costs and multiple solution uncertainties. Furthermore, the gimbal lock singularity arising in orientation parameterizations based on Euler angles further reduces the reliability of these methods in practical applications. To overcome these issues, the proposed method represents the platform’s orientation directly via a 3x3 rotation matrix instead of Euler angles. To ensure the physical validity of the matrix, an orthogonal projection layer based on Singular Value Decomposition (SVD) is applied, strictly preserving the SO(3) constraints (R^T R= I, det(R) = +1). To perform regression analysis for predicting the forward kinematics, a dataset consisting of 100,000 workspace points was generated using random sampling in the MATLAB environment. A fully connected multi-layer perceptron (MLP) was employed as the regression model. Hyperparameters were systematically optimized using the Optuna Bayesian optimization framework, and model training was conducted in PyTorch with GPU acceleration. Experimental results show that the proposed model achieves sub-millimeter positional accuracy (MAE ≈ 0.0042), angular error below 0.02° and prediction performance at R^2=0.9998. Furthermore, the inference time of 0.12 ms demonstrates that the method is directly applicable in high-frequency real-time control systems. In conclusion, SO(3) projection-based artificial neural network architecture eliminates singularities caused by gimbal lock, produces physically valid orientation estimates, and offers a powerful and generalizable alternative for solving the forward kinematics problem of Stewart platforms in a fast, stable, and highly accurate manner.

Keywords

• Stewart Platform
• Forward Kinematics
• Deep Learning
• Parallel Manipulators
• Rotation Matrix Regression

Stewart Platformları için Veriye Dayalı Hibrit Kinematik Modelleme

Abstract

Bu çalışma, 6 serbestlik dereceli (DoF) Stewarts platform mekanizması için veriye dayalı ve yüksek doğruluklu ileri kinematik modelleme yaklaşımını sunmaktadır. Geleneksel analitik ve sayısal yöntemler, yüksek hesaplama maliyetleri ve çoklu çözüm belirsizlikleri nedeniyle önemli sınırlamalara sahiptir. Ayrıca, Euler açılarına dayalı yönelim parametrelemelerinde ortaya çıkan gimbal kilidi tekilliği, bu yöntemlerin pratik uygulamalardaki güvenilirliğini daha da azaltmaktadır. Bu sorunları aşmak için, önerilen yöntem platformun yönelimini Euler açıları yerine doğrudan 3X3 dönüş matrisi ile temsil eder. Matrisin fiziksel geçerliliğini sağlamak için, SO(3) kısıtlamalarını (R^T R=I, det(R)=+1) sıkı bir şekilde koruyan, Tekil Değer Ayrıştırması (SVD) tabanlı bir ortogonal projeksiyon katmanı uygulanır. İleri kinematik probleminin tahmini için regresyon analizi gerçekleştirmek üzere, MATLAB ortamında rastgele örnekleme kullanılarak 100.000 çalışma alanı noktasından oluşan bir veri kümesi oluşturulmuştur. Regresyon modeli olarak tam bağlantılı çok katmanlı perceptron (MLP) kullanılmıştır. Hiperparametreler, Optuna Bayes optimizasyon çerçevesi kullanılarak sistematik olarak optimize edilmiş ve model eğitimi, GPU hızlandırmalı PyTorch'ta gerçekleştirilmiştir. Deney sonuçları, önerilen modelin milimetrenin altında konum doğruluğu (MAE ≈ 0,0042), 0,02°'nin altında açısal hata ve R^2=0,9998'de tahmin performansı elde ettiğini göstermektedir. Ayrıca, 0,12 ms'lik çıkarım süresi, yöntemin yüksek frekanslı gerçek zamanlı kontrol sistemlerinde doğrudan uygulanabilir olduğunu göstermektedir. Sonuç olarak, SO(3) projeksiyon tabanlı yapay sinir ağı mimarisi, gimbal lock nedeniyle oluşan tekillikleri ortadan kaldırır, fiziksel olarak geçerli yönelim tahminleri üretir ve Stewart platformlarının ileri kinematik problemlerini hızlı, kararlı ve yüksek doğrulukla çözmek için güçlü ve genelleştirilebilir bir alternatif sunar.

Keywords

• Stewart Platformu
• İleri Kinematik
• Derin Öğrenme
• Paralel Manipülatörler
• Dönme Matrisi Regresyonu

References

1. [1] Stewart D. A six-degree-of-freedom platform. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. 1965;180(1):371-386. Available from: https://doi.org/10.1243/PIME_PROC_1965_180_029_02
2. [2] Merlet J-P. Parallel Robots. Dordrecht: Springer; 2006. Available from: https://doi.org/10.1007/1-4020-4133-0
3. [3] Dasgupta B, Mruthyunjaya TS. The Stewart platform manipulator: A review. Mechanism and Machine Theory. 1998;33(1-2):15-40. Available from: https://doi.org/10.1016/S0094-114X(97)00006-0
4. [4] Craig JJ. Introduction to Robotics: Mechanics and Control. 4th ed. Pearson; 2020.
5. [5] Siciliano B, Khatib O. Handbook of Robotics. 2nd ed. Springer; 2016. Available from: https://doi.org/10.1007/978-3-319-32552-1
6. [6] Toz M, Küçük S. Development of inverse Jacobian matrices for 6-DOF GSP mechanisms. Turkish Journal of Electrical Engineering & Computer Sciences. 2016;24(5).
7. [7] Toz M, Küçük S. Dexterous workspace optimization of an asymmetric six-degree-of-freedom Stewart-Gough platform manipulator. Robotics and Autonomous Systems. 2013;61(12):1516-1528.
8. [8] Toz M, Küçük S. Parallel manipulator software tool for design, analysis and simulation of GSP mechanisms. Computer Applications in Engineering Education. 2015;23(6).

9. [9] Innocenti C, Parenti-Castelli V. Forward kinematics of the general Stewart platform. Meccanica. 1990;25:225-232. Available from: https://doi.org/10.1007/BF01563695
10. [10] Köker R, Öz C. Forward kinematics of parallel manipulators using artificial neural networks. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing. 2013;29(1). Available from: https://doi.org/10.1016/j.rcim.2012.07.003
11. [11] Chirikjian GS. Stochastic Models, Information Theory, and Lie Groups. Springer; 2011. Available from: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4884-2
12. [12] Schönemann PH. A generalized solution of the orthogonal Procrustes problem. Psychometrika. 1966;31:1-10. Available from: https://doi.org/10.1007/BF02289451
13. [13] Hou Y, Barnes C, Lu J, Yang J, Li H. On the continuity of rotation representations in neural networks. In: Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR); 2019. Available from: https://doi.org/10.1109/CVPR.2019.00015
14. [14] Akiba T, Sano S, Yanase T, Ohta T, Koyama M. Optuna: A next-generation hyperparameter optimization framework. In: Proceedings of the 25th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining (KDD); 2019. Available from: https://doi.org/10.1145/3292500.3330701
15. [15] Jouppi NP, et al. In-datacenter performance analysis of GPU computing. In: Proceedings of the 45th Annual International Symposium on Computer Architecture (ISCA); 2018. Available from: https://doi.org/10.1109/ISCA.2018.00017
16. [16] Geng Z, Haynes LS. Neural network solutions for the forward kinematics of a Stewart platform. In: Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA); 1994.
17. [17] Chauhan KSD, Pandu RV. Forward kinematics of the Stewart parallel manipulator using machine learning. International Journal of Computational Methods. 2022. Available from: https://doi.org/10.1142/S0219876221420093