A VISUALIZATION PROPOSAL FOR IRRATIONAL NUMBERS: THE NUMBER e AND π

Öz

This study is realized to make individuals understand that irrational numbers are expressed by “infinite decimal numbers that do not repeat”. For this, a visual model proposal for the teaching of irrational numbers is presented. This visual model is based on e= and π= numbers which are often seen by studenst and teachers in mathematics education and science. The digits of these numbers after the comma cannot be written using repeating or a finite number of digits (infinite non-repeating decimal representation). This is one of the two expressions used to express irrationality in the mathematical society. By this way, based on the number of e and π, a visual model was presented to make the students understand the irrational numbers. To make this visualization, the numbers of first 2500 integer part and decimal digits of and  were placed on the size of 50 x 50 table in Microsoft Excel and these visualizations were presented on a fountain which was designed by the researcher. Then, all the numbers from 0 to 9 were assigned different colors and each cell of table was colored with the corresponding assigned colors instead of numbers. The colored Excel table made in this way was converted into image format. Then, it was intended to draw attention to these numbers via planning the illumination on the designed fountain and reflecting these colors in the sky or on the wall / floor in the evening.

Anahtar Kelimeler

• irrational numbers,number number π,teaching mathematicS

İRRASYONEL SAYILARIN ÖĞRETİMİ İÇİN GÖRSEL MODEL ÖNERİSİ: e ve π SAYILARI

Öz

Bu çalışma irrasyonel sayıların “tekrar etmeyen sonsuz ondalık basamaklı sayılar” ile ifade edildiğini bireylere sezdirmek için gerçekleştirilmiştir. Bunun için irrasyonel sayıların öğretimine yönelik görsel bir model önerisi sunulmaktadır. Bu görsel model matematik eğitiminde ve fen bilimlerinde sıklıkla öğrencilerin ve öğretmenlerin karşılaştığı e=  ve π=  irrasyonel sayıları temelinde gerçekleştirilmiştir. ve π sayılarının virgülden sonraki basamakları sonlu veya tekrar eden rakamlar kullanılarak yazılamamaktadırlar. Bu durum matematik camiasında irrasyonelliği ifade etmede kullanılan iki ifadeden birisidir. Bu ifadeden yola çıkarak ve e ile π sayıları baz alınarak irrasyonel sayıları öğrencilere sezdirmeye yönelik bir görsel model sunulmuştur. Bu görsel modelin oluşturulabilmesi için  sayılarının ilk 2500 tam ve ondalık basamağındaki  rakamlar Microsoft Excel programında 50x50’lik bir tabloya yerleştirilmiş, ardından rakamlara birer renk atanmış ve tablonun her bir hücresi, hücreye karşılık gelen rakam yerine atanan renk ile renklendirilmiştir. Bu şekilde yapılan renkli Excel tablosu resim formatına dönüştürülmüştür. Daha sonra, özellikle ortaokul çağındaki veya somut işlemler dönemindeki öğrencilere günlük hayatta karşılaşabilecekleri bir ortam oluşturmak adına araştırmacı tarafından tasarlanan bir şadırvan üzerinde e ve π irrasyonel sayılarının görsel modelleri şadırvan üzerinde gerekli ışıklandırmalar planlanmış ve görsel modellerin akşam vaktinde gökyüzüne/duvara/yere yansıtılarak bu sayılara dikkat çekilmesi amaçlanmıştır

Anahtar Kelimeler

• irrasyonel sayılar,sayısı,π sayısı,matematik öğretimi

Kaynakça

1. Adıgüzel, N. (2013). İlköğretim matematik öğretmen adayları ve 8. sınıf öğrencilerinin irrasyonel sayılar ile ilgili bilgileri ve bu konudaki kavram yanılgıları. Yüksek Lisans Tezi. Konya: Necmettin Erbakan Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü.
2. Avcı, Y., Alnıaçık, K., ve Ergun, N. (1995). “Kolay yoldan logaritma”. Matematik Dünyası, 3, 10-12. http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF_eskisayilar/1995_3_10_12_KOLAYYOLDAN.pdf adresinden 1 Nisan 2014 tarihinde edinilmiştir.
3. Bailey, D. H. (2003). Some background on Kanada’s recent pi calculation (Tech. Rep.). Lawrence Berkeley National Laboratory. Available at http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/dhb-kanada.pdf.
4. Blatner, D. (2003). π coşkusu (N. Arık, Çev.). Ankara: TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları. (Orijinal çalışma basım tarihi 1997).
5. Borwein, P. B. (2000). The amazing number Pi. http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/PAPERS/ P159.pdf adresinden 1 Nisan 2014 tarihinde alınmıştır.
6. Coolidge, J. L. (1950). “The number e” [Electronic Version]. The American Mathematical Monthly, 57(9), 591-602.
7. Çakar, Ö. (1992). Doğanın güzellik ölçüsü altın oran. Bilim ve Teknik Dergisi, 297(8), 6-11.
8. Dosay, M. (1990). “e sayısı” [Elektronik versiyon] Ankara Üniversitesi Dil ve Tarih-Coğrafya Fakültesi Dergisi, 33 (1-2), 77-87. http://dergiler.ankara.edu.tr/dergiler/26/1242/14151.pdf adresinden 1 Nisan 2014 tarihinde alınmıştır.

9. Fischbein, E., Jehiam, R. ve Cohen, C. (1995). “The concept of irrational number in high school students and prospective teachers”. Educational Studies in Mathematics, 29: 29–44.
10. Gültekin, A. T., ve Asyalı M. H. (2007). “Pi sayısının monte-carlo metodu ve gregory/leibniz formülüyle hesaplanması”. Journal of Yaşar University, 2(7), 1-8. http://journal.yasar.edu.tr/wp-content/uploads/2012/11/vol2_no_7_09-G%C3%9CLTEK%C4%B0N.pdf adresinden 1 Nisan 2014 tarihinde alınmıştır.
11. Güven, B., Çekmez, E. ve Karataş, İ. (2011). “Examining Preservice Elementary Mathematics Teachers' Understandings about Irrational Numbers”. PRIMUS: Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies, 21(5), 401-416.
12. Horzum, T., Pala, H. ve Sevil, S. (2011). “e saatli merdiven” [Öz]. 10. Matematik Sempozyumu. Işık Üniversitesi, 21-23 Eylül 2011 İstanbul, 154.
13. Ifrah, G. (2000). Rakamların evrensel tarihi- VII: İslam dünyasında Hint rakamları (K. Dinçer, Çev.). Ankara: TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları. (Orijinal çalışma basım tarihi 1985).
14. Maor, E. (1994). e: The story of a number (1st ed.). Princeton: Princeton University Press.
15. O’Connor, J. J. ve Robertson, E. F. (2001a). A history of pi. Retrieved from April 1, 2014, from http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/ HistTopics/Pi_through_the_ages.html.
16. O’Connor, J. J. ve Robertson, E. F. (2001b) The Number e. Retrieved from April 1, 2014, from http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html.
17. Fel'dman, N. I. ve Nesterenko Yu. V. (1997). “Transcendental Numbers”. In A. N, Parshin, I.R. Shafarevich (Eds.). Encyclopedia of Mathematical Sciences, Volume 44: Number Theory IV. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag.
18. Kara, F. ve Delice, A. (2012). Kavram tanımı mı? Yoksa kavram imgeleri mi? İrrasyonel sayıların temsilleri. X.Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi. Niğde, Türkiye.
19. Peled, I. & Hershkovitz, S. (1999). “Difficulties in knowledge integration: Revisiting Zeno’s paradox with irrational numbers”. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 30(1), 39–46.
20. Posamentier, A. S. ve Lehmann, I. (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. New York: Prometheus Books.
21. Sandifer, E. C. (2006). Who Proved e is Irrational? In How Euler did it: The MAA Tercentenary Euler Celebration (185-190). Washingtoni DC: The Mathematical Association of America.
22. Shinno, Y. (2007). “On the teaching situation of conceptual change: epistemological considerations of irrational numbers”. In Woo, J. H., Lew, H. C., Park, K. S. ve Seo, D. Y. (Eds.). Proceedings of the 31st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Vol. 4: 185-192. Seoul: PME.
23. Sirotic, N. ve Zazkis, R. (2007a). “Irrational numbers: the gap between formal and intuitive knowledge”. Educational Studies in Mathematics, 65, 49–76.
24. Sirotic, N. ve Zazkis, R. (2007b). “Irrational numbers on the number line – where are they?” International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 38(4), 477-488.
25. Stafylidou, S., and Vosniadou, S., (2004). “The development of students’ understanding of the numerical value of fractions”. Learning and Instruction, 14, 503–518.
26. Şandır, H., Ubuz, B. ve Argün, Z. (2007). “9. Sınıf Öğrencilerinin Aritmetik İşlemler, Sıralama, Denklem ve Eşitsizlik Çözümlerindeki Hataları”. Hacettepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 32, 274-281.
27. Temel, H. ve Eroğlu, A. O. (2014). “İlköğretim 8.sınıf öğrencilerinin sayı kavramlarını anlamlandırmaları üzerine bir çalışma”. Kastamonu Eğitim Fakültesi Dergisi, 22(3), 1263-1278.
28. Tepedenlioğlu, N. (1995). Kim korkar matematikten? İstanbul: Sarmal Yayınları.
29. Tez, Z. (2008). Matematiğin Kültürel Tarihi. İstanbul: Doruk Yayıncılık.
30. Tezcan, G. (2010). “On renkli 5156 basamaklı pi duvarı” [Öz]. 9. Matematik Sempozyumu Sergi ve Şenlikleri, Karadeniz Teknik Üniversitesi, 20-22 Ekim 2010, Trabzon.
31. Yenilmez, K., ve Palabıyık, U. (2008). “e sayısı ve kayıp tarihi”. XXI. Ulusal Matematik Sempozyumu, Koç Üniversitesi, İstanbul, H.1-10.
32. Zazkis, R. ve Sirotic, N. (2010). “Representing and Defining Irrational Numbers: Exposing the Missing Link”. CBMS Issues in Mathematics Education, 16: 1-27