Wishart Matris’lerinde En Büyük Özdeğer Olasılık Dağılım Fonksiyonlarının Karşılaştırılması

Öz

Wishart matrisleri ve bu matrislerin özdeğer dağılımları telekomünikasyon, algılama teorisi ve çok değişkenli veri analizlerinde oldukça yaygın olarak kullanılmaktadır. Fakat bu dağılımlar önceden tanımlanmış herhangi fonksiyona benzemediğinden, kapalı bir fonksiyonla ifade edilmesi çok kolay olmamaktadır. Literatürde özellikle Wishart matrislerinin en büyük özdeğerinin olasılık dağılımı için yapılan çalışmalar mevcuttur. Bu çalışmalarda Wishart matrislerinin en büyük özdeğerine eklenen parametrelerle 1. dereceden Tracy-Widom dağılımına benzetilmektedir. Fakat dağılımın benzerlik ölçüsü eklenen parametrelere göre değişmektedir. Yapılan bu çalışma, Ma, Jhonstone, Deo tarafından önerilen en büyük özdeğer dağılım fonksiyonlarının performanslarını karşılaştırmayı amaçlamıştır. Benzetim çalışmaları farklı boyuttaki matrisler için uygulanmış ve sonuçlar karşılaştırılmıştır. Yapılan benzetim çalışmalarına göre, Deo tarafından sunulan en büyük özdeğer dağılım fonksiyonunun, 1. dereceden Tracy-Widom olasılık dağılımına en fazla benzediği görülmüştür.

Anahtar Kelimeler

• Kovaryans matrisi,En büyük özdeğer,Olasılık dağılım fonksiyonu,Tracy-Widom olasılık dağılımı,Wishart matrisi

Performance Analysis of Blind Source Algorithms in the Separation of Sound Signals

Abstract

Wishart matrices and eigenvalue distributions of these matrices are widely used in telecommunication, perception theory and multivariate data analysis. However, since these distributions do not resemble any predefined functions, it is not easy to express them with a closed function. There are studies in the literature, especially for the probability distribution of the largest eigenvalue of Wishart matrices. In these studies, some parameters are added to the largest eigenvalue of Wishart matrices and they are likened to Tracy-Widom distribution of order 1. However, the similarity of the distribution varies according to the added parameters. This study aimed to compare the performances of the largest eigenvalue distribution functions proposed by Ma, Jhonstone, Deo. Simulation studies were applied for matrices with different dimension and the results were compared. According to the simulation studies, the largest eigenvalue distribution function presented by Deo was found to be most similar to the first order Tracy-Widom probability distribution.

Keywords

• Covariance matrix,Maximum eigenvalue,Probability distribution function,Tracy-Widom probability distribution,Wishart matrix

Kaynakça

1. Chen, Z., & Zhang, Y. (2018). Cooperative energy detection algorithm based on background noise and direction finding error. AEU-International Journal of Electronics and Communications, 326-341.
2. Ciflikli, C., & Ilgin, F. Y. (2017). Bilişsel radyo sistemleri için kör spektrum algılama yöntemlerinin farklı haberleşme kanallarındaki performans analizi. Uluslararası Multidisipliner Çalışmalar ve Yenilikçi Teknolojiler Sempozyumu, (s. 251-252). Tokat.
3. Ciflikli, C., & Ilgin, F. Y. (2017). Bilişsel radyo sistemleri için özdeğer tabanlı algılama yöntemlerinde performans analizi. Bilge International Journal of Science and Technology Research, 32-37.
4. Ciflikli, C., & Ilgin, F. Y. (2017). On the performance analysis of blind spectrum sensing methods for different communication channels. International Research Journal of Engineering and Technology, 1-5.
5. Ciflikli, C., & Ilgin, F. Y. (2018). Covariance based spectrum sensing with studentized extreme eigenvalue. Tehnički vjesnik, 100-106.
6. Ciflikli, C., & Ilgin, F. Y. (2020). Multiple antenna spectrum sensing based on glr detector in cognitive radios. Wireless Personal Communications, 1915-1927.
7. Deo, R. S. (2016). On the Tracy-Widom approximation of studentized extreme eigenvalues of Wishart matrices. Journal of Multivariate Analysis, 265-272.
8. Edelman, A. (2005). Random matrix theory. Acta Numer, 1-65.

9. Johansson, K. (2007). From gumbel to Tracy-Widom. Probability Theory and Related Fields volume, 75–112.
10. Johnstone, I. M. (2001). On the distribution of the largest eigenvalue in principal components analysis. Annals of statistics, 295-327.
11. Ma, Z. (2012). Accuracy of the Tracy–Widom limits for the extreme eigenvalues in white Wishart matrices. Bernoulli , 322-359.
12. Mohammadi, A., Javadi, S. H., Ciuonzo, D., Persico, V., & Pescapè, A. (351). Distributed detection with fuzzy censoring sensors in the presence of noise uncertainty. Neurocomputing, 196-204.
13. Nadler, B. (2011). On the distribution of the ratio of the largest eigenvalue to the trace of a Wishart matrix. Journal of Multivariate Analysis, 363-371.